Un copil vrea să coloreze cu roşu, galben si albastru trei din cele 5 pătrate ale reţelei alăturate. Câte modele poate obţine copilul?

1

2

3

4

5


Soluţia 1. Pentru a colora 3 dintre cele 5 pătrate, copilul trebuie să aleagă 5 dintre acestea şi trebuie să coloreze în cele 3! moduri posibile. Fiecare model reprezintă un aranjament de 5 elemente luate câte 3. în total: [image]=[image] = [image] = [image] =[image]3[image]4[image]5=60 modele.

Soluţia 2. Fie A = {R, G, A} mulţimea celor trei culori (R=roşu, G=galben, A=albastru) si B = {1, 2, 3, 4, 5} mulţimea celor cinci pătrate. Atunci o colorare cu cele trei culori a trei din cele cinci pătrate reprezintă o funcţie f : AB, care este in mod evident injectivă.

Cum numărul funcţiilor injective de la A la B este [image]=60, atunci numărul de modele este 60.


Calculaţi câte numere de telefon de 6 cifre distinct se pot forma intr-o reţea de telefonie.

Soluţie. Observăm că avem [image] posibilităţi de aranjare a celor 10 cifre: 0, 1, 2, . . ., 9 luând câte 6 dintre ele distincte.

Cum numerele de telefon nu încep cu 0, vom elimina din cele [image] posibilităţi pe cele [image] care încep cu 0.

Deci avem: [image] - [image] numere de telefon.


Cei 25 de elevi ai unei clase au schimbat fotografii între ei. Câte fotografii au fost necesare?

Soluţie. Cum fiecare 2 elevi schimbă între ei fotografiile, vor fi necesare [image]= 25 [image] 24 = 600 de fotografii.


O clasă are de susţinut trei teze, pe care le poate planifica in 15 zile lucrătoare. Dacă prima teza este în prima zi, câte posibilitaţi de planificare a celorlalte teze există? (Nu se pot da două teze in aceeaşi zi)

Soluţie: Prima teza fiind planificată în prima zi, ne ramân de planificat două teze în cele 14 zile rămase.

Obţinem: [image]=14 [image] 13=182 de posibilităţi.


Să se calculeze: E= [image] .

Soluţie:

Deoarece

[image]=5!=120,

[image]=5[image] 4 [image] 3=60,

[image]=4 [image] 3 [image] 2=24 si [image]=4 [image]3=12,

rezultă E=[image] = [image] =5.


Să se determine domeniul de definiţie pentru funcţia f : D R, f(x) =[image] .

Soluţie. Se pun condiţiile:

5 - xN,

x - 2N si

5 - x = x - 2.

Din acestea obţinem xN, x = 5, x = 2 şi respectiv 7 = 2x => x = [image] . în final => x{2; 3}.


Să se rezolve ecuaţia: [image] = 12[image] .

Soluţie. Punem condiţiile nN, n = 5, respectiv n - 2N si n - 2 = 4, de unde obţinem nN si n = 6 (1).

Explicitând aranjamentele avem: [image]= 18 [image] [image] de unde se obţine:

n(n - 1)(n - 2)(n - 3)(n - 4) = 18(n - 2)(n - 3)(n - 4)(n - 5). (2)

Din (1) si (2) rezultă n(n - 1) = 18(n - 5).

Se obţine n2 -19n + 90 = 0 => n1 = 9 şi n2 = 10 soluţii.


Să se rezolve inecuaţia: [image]=12[image] .

Soluţie. Condiţiile de existenţă nN, n = 5 şi nN, n = 3, conduc la nN, n = 5. Explicitând aranjamentele obţinem: n(n - 1)(n - 2)(n - 3)(n - 4) = 12n(n-1)(n-2) .

Simplificând prin produsul n(n - 1)(n - 2) > 0, deoarece n = 5, obţinem (n - 3)(n - 4) = 12 şi în final n2 - 7n = 0, adică n(n - 7) = 0. De aici obţinem n[0, 7] şi cum nN, n = 5 => n{5; 6; 7}.


Rezolvaţi în mulţimea numerelor naturale sistemul:

[image]

Soluţie. Condiţiile de existentă conduc la x, yN si x = y. Explicitând aranjamentele obţinem:

[image]

De unde obţinem:

[image]

Din prima ecuaţie obţinem y = x - 4 şi înlocuindu-l în o a doua, obţinem:

x(x - 1) + (x - 4)(x - 5) = 68, de unde rezultă x2- 5x - 24 = 0, cu soluţiile x1= 8 şi x2 = -3. Cum xN => x = 8 singura soluţie => y = 4.