Să se determine numărul [image]10 ştiind că : [image]x + [image]y + [image]z = 10010012, indicii reprezentând baze de numerație, cu x şi y numere impare distincte.



Să se rezolve ecuația: 12x + 36y = 3410, unde indicii reprezintă baze de numerație.



Să se determine cifrele x şi y din egalitatea: 11112 + 11113 + 11114 + 11115 + 11116 + 11117 + 11118 + 11119 = [image]7 – 9110, unde indicii reprezintă baze de numerație.



Fie egalitatea: 556 = 445 – 334 + 223 – 112 + x10, unde indicii reprezintă baze de numerație.

  1. Să se afle x10

  2. Să se afle toate numerele naturale pare care dau câtul 3 la ȋmpărțirea prin x, determinat la punctul a.



Numărul [image] este scris ȋn baza x+2. Stiind că ȋn sistemul zecimal numărul este egal cu 19, să se determine baza sistemului de numerație necunoscut.



Să se afle un număr natural de trei cifre ȋn baza 10, ştiind că scris ȋn baza 7 are forma [image], iar ȋn baza 6 are forma [image].



Gasiți numerele naturale, scrise ȋn baza 10, de forma [image] care sunt cu 45 mai mari ca [image].



Să se determine trei cifre a, b, c astfel ȋncât bca9 = abc7, unde indicii sunt baze de numerație.



Să se determine x din egalitatea: [(x10 – 2245)×2 – 1327 ]×718 + 304 = 1210, unde indicii reprezintă bazele de numerație ȋn care sunt scrise numerele.



Să se rezolve ecuația : 45x + 67y = 98, unde x şi y sunt baze de numerație.



Gasiți x şi y astfel ȋncât 12x + 36y = 34



Să se efectueze:

  1. E1 = [([image] + 3[image]c) : 13 – b]:a

  2. E2 = [([image][image]: d + [image]]:[image]

  3. E3 = ([image]+ [image] + [image]):( a + b + c ).



Să se afle a, b, c, cifre ȋn baza zece, a ≠ 0, astfel ȋncât :

  1. [image] + [image] + [image] < 555

  2. 3 ([image] + [image][image] ) < 1000

  3. [image] + [image] - [image] < 1000



Determinați numerele naturale consecutive [image] şi [image]pentru care [image]+ [image]= 113. 



Un număr natural de trei cifre, scris ȋn baza zece ȋmpărțit la răsturnatul său dă câtul 5 si restul 46. Calculați numărul ştiind că diferența dintre cifra zecilor şi cea a unităților este 2.



Aflați numărul [image]care verifică egalitatea [image]+ [image]+ [image]+ d = 3102



Scrieți pozitional, ȋn baza 10, numerele naturale care se obțin din scrierea:



3×10n + 7×10n+1 + 5×10n+2 pentru n luând valorile 1, 3, 5.



Stabiliți ȋn ce bază de numerație are loc relația: 32x = 2310 



Dacă 31x = 23y şi restul ȋmpărțirii sumei x+y la 3 este 1 atunci x şi y sunt…………



Dacă a şi b sunt cifre consecutive ȋn baza zece cu a > b, atunci arătați că:

[image] + 3332 = 111[image]



Numărul meu de telefon este de forma [image].

  1. Câte numere de telefon de această formă pot fi în judeţul Călăraşi? (Prima cifră a unui număr de telefon din acest judeţ este numai 2, 3, 5 şi 6)

  2. Care este numărul meu de telefon dacă a>b şi suma cifrelor este 14 ?



Se dau numerele [image]; [image] şi [image] unde a, b, c sunt cifre în baza 10. Ştiind că primele două numere sunt direct proporţionale cu 2 şi 3 iar ultimele două numere sunt invers proporţionale cu 4 şi 6, să se determine câturile dintre suma celor trei numere cu fiecare în parte.



Aflaţi numerele [image] ştiind că: [image].



Aflaţi x10 din egalitatea:

  1. 167-156+145-134=123-112+x10, unde indicii reprezintă baze de numeraţie.

  2. Pentru x determinat la punctul a. calculaţi:



[image]x, unde x reprezintă baza de numeraţie.



Se consideră numerele x şi y scrise în baza 10. x reprezintă numărul numerelor de 4 cifre scrise în baza 5 iar y reprezintă numărul numerelor de 5 cifre scrise în baza 4. Să se compare 2.x şi y.



Determinaţi pe x, a, b din relaţia 325x + 224(x-1) =[image]10, unde x, x-1, 10 sunt bazele de numeraţie în care sunt scrise numerele respective.



Prin împărţirea numerelor naturale [image] , scrise în baza 10, la acelaşi număr natural nenul, se obţin câturile b, c, respectiv a şi resturile c, a, respectiv b. Aflaţi împărţitorul şi arătaţi că numărul [image] este multiplu de 111.



Să se afle numărul natural de patru cifre [image] ştiind că acesta se poate scrie sub forma [image], unde x, y, z, t sunt cifre impare, x < z < y < t şi x + y = a + b + c + d. Numerele sunt scrise în baza 10.



Fie A=[image] şi B=[image]unde [image] sunt cifre ale sistemului zecimal iar n este un număr natural nenul. Să se demonstreze că dacă 17|B atunci 17|A.



Determinați numerele abc, scrise în baza 10, pentru care a·bc + b·ca + c·ab=11abc.



Calculaţi: x = [image].



Determinați numerele xy, scrise ȋn baza zece, ştiind că x(x-1)(x-2)(x-3)═5y-1



Determinaţi cifrele a şi b, ştiind că media aritmetică a numerelor [image] este 1375.



Să se determine numărul [image], a şi b fiind cifre scrise în sistemul zecimal, dacă [image]=[image]−b−a.



Arǎtaţi cǎ [image]oricare ar fi cifrele nenule a, b, x, y ale bazei zece. Folosind identitatea de mai sus calculaţi :



(1×23+32×2):(12×2+21×3)+(3×45+54×4):(34×4+43×5)+(5×67+76×6):(56×6+65×7)



Aflaţi cifrele nenule a, b, x, y ale bazei zece pentru care [image] ştiind cǎ sunt îndeplinite simultan condi ţiile :

  1. a, x, y ( în aceastǎ ordine ) sunt cifre consecutive;

  2. cifra a este număr prim;

  3. cifra x este cub perfect;

  4. cifra y este pătrat perfect.



Sǎ se precizeze scrierea în baza 2 a numǎrului [image] ştiind cǎ :

a = ultima cifrǎ a lui 2007n+2 , unde n=2+22+23+…+22007

b = restul împǎrţirii lui 20062007 + 2007 2006 la 1003

c = cardinalul mulţimii M={x∈N / 2000 < 3x < 2200 }



Să se găsească numerele naturale de forma [image], scrise în baza zece, pentru care [image]. Notaţia (m, n) reprezintă cel mai mare divizor comun al numerelor naturale m şi n.



Prin ȋmpărțirea unui număr natural [image], scris ȋn baza zece, la două numere naturale consecutive obținem acelaşi rest r. Arătați că c şi r au aceeaşi păritate.



Aflați numerele de forma [image], scrise ȋn baza 10, ştiind că 1×2×3×.....×b+58= a2



Calculaţi suma tuturor numerelor de forma [image] ştiind că [image].



Determinaţi cifrele a şi b ştiind că media aritmetică a numerelor [image] şi b este 625.



Arătaţi că 21000 scris în baza 10 are cel puţin 301 cifre.



Arătaţi că: [image]; [image].



Aflaţi pătratul cărui număr, scris în baza zece, este numărul [image] şi arătaţi că el este divizibil cu 169.



Scrieţi numărul [image] în baza 2.



Determinaţi mulţimea numerelor naturale de forma [image], scrise în baza zece, unde [image] [image] este pătrat perfect, iar [image].



Suma cifrelor numărului [image] este 25. Calculaţi suma cifrelor numărului [image].



Aflaţi numerele naturale [image], astfel încât să fie îndeplinită condiţia: [image].



Precizaţi câte numere n = [image] > 5000 verifică simultan condiţiile următoare:

  1. a,b,c,d sunt cifre distincte;

  2. n este divizibil cu 5;

  3. n are o singură cifră pară.



Să se afle numerele naturale de forma [image], în baza 10, [image], ştiind că [image]+5=(x-4)2009 + y3 + z2



Demonstraţi că suma dintre [image] şi [image] are cel puţin o cifră pară.



Aflaţi numerele [image] şi [image] ştiind că [image] ([image]+1)= [image]+2010.



Determinaţi numerele de forma [image] în baza 10, ştiind că fracţia [image] este echiunitară.



Determinaţi numărul [image] ştiind că [image]2-1190 = [image]



Fie [image] un număr de trei cifre scris în baza 10 cu ac + 2 şi [image] = [image][image]. Să se arate că [image] +[image]este constant.



Să se a.e câte numere de forma [image]; scrise în baza zece, sunt divizibile cu 847.



Determinaţi cifrele a şi b, ştiind că media aritmetică a numerelor [image] este 1375.