Binomul lui Newton

 

Teoremă: Fie a şi b două numere reale, n număr natural nenul. Atunci:

[image].

sau [image]

 

Observaţii:

  1. Putem scrie formula de mai sus astfel: [image], de unde deducem uşor formula termenului general [image].

  2. Dezvoltarea unui binom are n + 1 termeni.

  3. Coeficienţii [image] se numesc coeficienţii binomiali ai dezvoltării.

  4. Coeficienţii binomiali din dezvoltare egal depărtaţi de termenii extremi ai dezvoltării sunt egali, [image] (formula combinărilor complementare).

  5. Dacă exponentul puterii este par n = 2k, atunci dezvoltarea are 2k + 1 termeni, iar termenul din mijloc are coeficientul binomial cel mai mare: [image]

Dacă n = 2k + 1, atunci dezvoltarea are 2k + 2 termeni şi avem doi termeni la mijlocul dezvoltării care au coeficienţii binomiali egali şi de valoare cea mai mare: [image].

  1. Intre doi termeni consecutivi [image] din dezvoltarea binomului are loc relaţia: