Să se arate că nu există numere naturale x şi y astfel ȋncât x2+y2=1996.



Să se rezolve ȋn mulțimea numerelor naturale ecuația x2=4y2+3y+3.



Să se rezolve ȋn mulțimea numerelor ȋntregi ecuația y2-xy+x2-x-y=0.



Să se arate că ecuația x5+x4-5x3+2x2+4x=1992 nu are soluții ȋn mulțimea numerelor ȋntregi.



Aflați x şi y numere naturale astfel ȋncât [image].



Descompuneți ȋn factori expresia E(x; y) = (x+y)5-x5-y5. Demonstrați că oricare ar fi x şi y numere ȋntregi15 divide E(x; y).



Determinați a număr natural pătrat perfect astfel ȋncât [image]



Demonstrați că [image]



Dacă x + y + z =0 şi xyz ¹ 0 atunci [image].



Aflați valorile reale ale lui x pentru care [image].



Rezolvați ȋn mulțimea numerelor ȋntregi ecuația [image].



Demonstrați că dacă x, y, z sunt numere positive şi xyz = 5 atunci (x+y)(x+z)(z+x)[image]40



Arătați că oricare ar fi a, b, c numere reale positive are loc ab+bc+ac[image].



Să se afle numerele reale strict positive ştiind că (x+y)(z+1)+xy +z[image].



Demonstrați că oricare ar fi numerele reale nenule are loc -1[image].



Să se demonstreze inegalitatea[image]



Determinați numerele naturale distincte două câte două stiind că abc+ac+ab+bc+a+b+c=2006.



Scrieți numărul A=6a2 + 5b2 - 4a + 4, unde a, b sunt numere reale ca suma de trei patrate