Combinari

Definitie: Daca A este o mulţime cu n elemente, atunci submulţimile lui A având k elemente, unde [image], se numesc combinări de n luate cate k, notate [image].

Teorema: Dacă k şi n sunt numere naturale, astfel încât [image], atunci

[image].

Demonstratie:

Fie A o multime cu n elemente. Sa consideram toate submultimile multimii A care au k elemente. Ordonăm fiecare dintre aceste submulţimi în toate modurile posibile.

Obţinem astfel, toate submulţimile ordonate ale lui A, care au cate k elemente. Numărul lor, după cum ştim, este [image] .

Dar cum numărul tuturor submulţimilor lui A având k elemente este egal cu [image], iar fiecare din acestea se pot ordona în [image] moduri, rezultă că [image].

Din aceasta egalitate rezultă că [image].

înlocuind în aceasta formula expresiile [image] şi [image]obţine, [image], ceea ce se poate scrie [image].

Observaţii:

Două combinări de n luate câte k diferă prin natura elementelor;

Proprietăţi :

  1. Formula combinărilor complementare : [image], [image].

  2. Formula de recurenţă : [image], [image].

  3. Pentru orice număr natural n are loc egalitatea :[image]