Să se scrie enumerând elementele următoarelor mulţimi:

A={x | x∈N si x este divizor propriu al lui 48}

B={x | x∈N si x este divizor propriu al lui 120}

C={x | x∈N si x este multiplu lui 4 mai mici decat 120}



Demostraţi că numărul de forma [image] + [image]se divide cu 1111.



Să se determine x dacă [image] divide pe x.



Să se afle numerele de forma [image] divizibile cu a.



Să se determine toate numerele de forma [image] divizibile cu numerele de forma aa unde a si b sunt cifre diferite de 1.



Determinaţi cifrele a, b, c astfel incât adunarea [image]+[image] =444 să fie corectă.



Să se afle cel mai mic numar natural k diferit de 1 astfel incât numărul A=372x3591+k să fie divizibil cu k.



Să se scrie numerele naturale de forma [image] divizibile cu 10 iar suma cifrelor sale să fie multiplu de 3.



Să se scrie cinci numere naturale divizibile cu 100 formate din patru cifre a căror sumă să fie 16.



Scrieţi toate numerele naturale de forma abc divizibile cu 10 astfel incât 1<a<3 si b<3.



Să se arate că oricum am alege şapte numere naturale pătrate perfecte, există cel putin două a căror diferenţa se divide cu 10.



Să se scrie numerele naturale de forma [image] divizibile cu 2 şi nedivizibile cu 10.



Să se scrie numerele naturale de forma [image] divizibile cu 2 şi multiplu de 11.



Să se scrie toate numerele naturale de forma [image] divizibile cu 5 şi care au suma cifrelor 7.



Să se determine toate numerele de forma [image] divizibile cu 4 şi nedivizibile cu 5.



Să se determine toate numerele de forma [image] divizibile cu 4 şi 5.



Să se determine numărul de forma [image] divizibile cu 25 şi nedivizibil cu 2.



Să se determine numerele de forma [image] divizibile cu 25 şi care să aiba suma cifrelor 19.



Să se determine numerele naturale de froma [image] divizibile cu 3.



Să se determine numerele naturale de forma [image] divizibile cu 3 şi 5.



Să se determine numerele naturale de forma [image] divizibile cu 3 şi 4.



Să se determine numerele de forma:

[image] divizibile cu 3 şi 25;

[image] divizibile cu 3 şi 10;



Să se afle numerele de forma A=10n+62 si B=10n+71 divizibile cu 3.



Să se afle toate numerele de forma abab divizibile cu 3 şi 4.


Să se afle numerele de forma [image]:

Divizibile cu 9

Divizibile cu 2 si 9

Divizibile cu 9 si 5



Să se arate că numerele de forma A=10n+71 si B=10n+26 sunt divizibile cu 9.



Arataţi că suma dintre un numar de două cifre si răsturnatul său este divizibil cu 11.



Să se afle că numărul de forma abcabc este divizibil cu 7, 11, 13.



Daca n∈N* să se demostreze că:

A = 7nx 3n+1+3n x 77n+1+17x21n se divide cu 81

B = 5nx7n+1+7nx5n+1+37x35n se divide cu 343.



Gaseşte 4 numere diferite de 1 care divid pe A=5n7n+1+3x5n+1x7n+5n+17n+1 unde n∈N*



Să se determine x∈N dacă numerele de forma [image] se divide cu numărul de forma [image] şi numărul de forma [image]de divide cu numărul de forma [image].



Se dau produsele: 2x5; 3x7; 3x4x5; şi 3x5x6

Alegeţi câte două produse astfel incât suma lor să nu se dividă cu 2

Alegeţi câte două produse astfel incât diferenţa lor să nu se dividă cu 3.



Să se arate că suma 5a+10b este divizibilă cu 5.



Folosind faptul că 357 divide pe 23205, să se găsească un numar de cinci cifre divizibil cu 357.



Dacă numarul 572 se divide cu 13, să se găsească un numar care să aibă prima cifră 5 şi care să se dividă cu 130.



Să se determine numerele naturale de forma [image] divizibile cu 3, stiind că x - y=3.



Aflaţi a si b astfel incât numerele de forma 32a6ab scrise in baza 10, să fie divizibile cu 25, 30, 36.



Să se determine numerele de forma 34a43b, stiind că sunt divizibile cu 18 şi fiecare din ele are trei cifre egale.



Să se arate că dacă numerele de forma [image] si 2x+3y se divid cu 7, atunci x=y=7.



Să se demostreze că numarul de forma ab3+aba+a6b este divizibil cu 7.



Să se determine cel mai mic numar natural n pentru care 1944 | 6n.



Dacă un numar natural imparţit la 27 dă restul 18 atunci numărul este divizibil cu 9.



Să se determine toate numerele de trei cifre care impărţite la răsturnatele lor dau câtul 3 şi restul 1.



Să se afle cel mai mic numar natural care impartit la 3, 4, 5, 8 şi 9 dă de fiecare dată restul 1.



Să se determine numerele de forma 7a2b care dau restul 5 prin imparţirea la 12.



Să se arate că nu există nici un număr natural care imparţit la 18 să dea restul 11 şi impărţit la un alt număr natural să dea câtul 27 şi restul 6.



Adăugaţi trei cifre la dreapta numarului 523 astfel incât numărul obţinut să se dividă cu 7, 8 şi 9



Aflaţi produsul celor mai mici trei numere naturale nenule consecutive stiind că acesta se divide cu 204.



Să se arate că numerele: 71997 + 1 şi 310 + 510 sunt divizibile cu 2.



Demonstraţi că:

  1. ( 9n+2 + 5×9n) este divizibil cu 86 , n∈N

  2. ( 9n+2 + 5×9n) este divizibil cu 258, n∈N*

  3. ( 2n + 3×2n+1 + 5×2n+2) este divizibil cu 27, n∈N

  4. ( 5 + 52 + 53 + 54 +... + 533 ) este divizibil cu 31

  5. 73k+2.113k+1.53k + 539 ;k∈N, se divide cu 1078

  6. 22n+1.9n.7n+1 +28n.32n+1 – 4n.32n.7n este divizibil cu 4032, n∈N*

  7. 49n.3n+1.34 + 72n+1.3n+1 + 72n.3n.20 este divizibil cu 3003, n∈N*

  8. 2n+4×5n+2× 7² -2920 sunt divizibile cu 72, n∈N.



Demonstraţi că numărul:

  1. a= 21 +22 +23 +...+22003 +22005 se divide cu 35.

  2. b=61 +62 +63 +... +6100 este divizibil cu 42.

  3. c=213 +223 +233 +243 +253 +... +21993 +22003,este divizibil cu 103.

  4. d=8+8²+8³+….+8888 se divide cu 73.

  5. e=7+7²+7³+…….7²ººº se divide cu 2801.

  6. f=2001+2001²+2001³+…..+2001²ºº² se divide la 2, 7, 11 şi 13.

  7. g = p² + (p+2)² +(p+4)² +(p+6)² se divide la 4 unde p∈N impar.



Demonstraţi că suma cifrelor numărului 10019 - 1001 se divide cu 83.



Demonstrati ca numarul A = 22n+3× 52n+1 -1 se divide cu 3, pentru orice n∈N şi nu se divide cu 9 pentru orice n∈N.



Să se demonstreze că numărul de forma E = abcd + dcba se divide cu 11.



Să se arate că numărul a = 340 – 240 se divide cu 5.



Se dă numărul A = 11985 + 91986 +81987 +81988. Este adevarata propozitia: ” A se divide cu 10?”



Se dă numărul : A = (2n+1) (4n+1) (5n+3), n∈N. Arătaţi ca A se divide la 3, pentru orice n∈N.



Să se arate că numerele naturale de forma abbab – 2b sunt divizibile cu 7.



Se dă numărul A = (98+9)(87+8)(76+7)(65+6)(54+5)(43+4)(32+3)(21+2)(10+1). Arătaţi că numărul A este divizibil cu 64000. Numărul 64000 este cel mai mare divizor al lui A, diferit de A?



Să se determine x pentru care expresia: E = 5x+2+3.72x+3+33.5x+32.72x+1+[image] este divizibilă cu 13.



Să se arate că numărul N = 24n+1 ∙ 42n ∙ 93n+7×213+2n + 162n+1 ∙ 812n+5 ∙ 49n se divide cu 3354 pentru orice număr natural n.



Se consideră numărul natural N = 12005 + 22005 + 32005 + … + 20052005.

  1. Să se arate că numărul N este divizibil cu 5;

  2. Să se studieze dacă numărul N + 20072005 este pătrat perfect.



Să se demonstreze că pentru oricare n∈ N* , numărul A = 10n + 35 este divizibil cu 45.



Determinaţi numerele de forma [image]pentru care: S = [image] are 16 divizori.



Arataţi că :

  1. 8 este divizor al lui 2008 şi apoi comparaţi numerele 82008 si 20088;

  2. 82008 – 20088 este divizibil cu 10;

  3. 82008 + 20088 nu este pătrat perfect.



Dacă a, b∈N. Să se arate că au loc implicaţiile:

  1. 7/( 2a + 3b) → 7/( 5a +4b)

  2. 7/ (a + b) → 7/( 3a – 4b)

  3. 7/ (a + 6b) → 7/ (3a +4b).



Să se demonstreze că numărul E = [image]+ [image] se divide cu 11.



Demonstraţi că numărul A = 22n+3.52n+1 – 1 se divide cu 3, pentru orice n∈N şi nu se divide cu 9 pentru orice n∈N.



Dovediţi că numărul [image]+ [image]+ [image]+ [image] este divizibil cu 211, oricare ar fi cifrele a şi b.



Gasiţi numerele [image] naturale nenule, ştiind că numărul [image] – 9[image] este divizibil cu 7 sau 13.



Se dă numarul natural de trei cifre [image] şi numerele naturale x, y, z. Se ştie că [image][image] (4[image] şi 5x – 12z = 10y+[image] Să se arate că z3.(x-2y) [image] 750.



Fie a si b numere naturale astfel ∈ncât 3a+ 4b se divide cu 7. Arătaţi că 4a+ 3b se divide cu 7. 



Se dă numărul : A = (2n+1) (4n+1) (5n+3), n∈N. Arătaţi că A se divide la 3, pentru orice n∈N.



Ştiind că un numar natural prin ∈mparţirea la 95 dă restul 71, să se arate că restul ∈mpărţirii numărului la 19 este divizibil cu 7.



Să se arate că numerele naturale de forma [image] – 2b sunt divizibile cu 7.



Fie a,b,c[image]IN* şi A = 3a+ 4b +5c, iar B = 2a+ 5b+ 8c.

  1. Calculaţi A + 2B şi 3A – B.

  2. Dacă A este divizibil cu 7,demonstraţi că B este divizibil cu 7.



Fie A = x+5y+3z, B = 3x+4y+z, x, y, z∈N*. Arătaţi că dacă A şi B se divid cu 11 atunci z se divide cu 11.



Câte numere de forma [image] sunt divizibile cu 4 şi au proprietatea că [image] este pătrat perfect.



Arătaţi că numărul [image][image] este multiplu de 7.