Grupuri

 

Pe mulţimea R se defineşte legea de compoziţie: x ◦ y = xy + 2x + 2y + 2, x, y ∊ R. Se consideră: G = ( - 2, [image]).

  1. Să se arate, că: x ◦ y = (x + 2)(y + 2) – 2, [image]x, y[image]R.

  2. Să se arate, că G este parte stabilă, a lui R, în raport cu legea: “◦” .

  3. Să se demonstreze, că: (x ◦ y ) ◦ z = x ◦ (y ◦ z ), x, y, z∊G.

  4. Să se arate, că există e∊G, astfel încât: x ◦ e = e◦ x = x, x∊G.

  5. Rezolvaţi ecuaţia: 0 ◦ x ◦ 0 = 0 , x[image]G.

  6. Utilizând metoda inducţiei matematice, demonstraţi că:

    [image]= (x + 2)n – 2 , [image]x[image]G, [image]n[image]N* .

  7. Să se calculeze: [image].



Să se arate că mulţimea: H = [image] este subgup al grupului:(M2(Z),+);



Verificaţi că mulţimea: H ={ a+b[image]| a, b[image]Q, a2 – 2b2 = 1} este subgup al grupului:(Q*,∙)



Stabiliţi subgrupul ciclic generat de A, <A>, unde: A = [image], pentru grupul: (M2 (Z5),+).



Se consideră mulţimile:G1 = {z[image]C / z = a + bi ; a , b[image]R , a2 + b2 = 1}, G2 = [image].Demonstraţi că:

  1. (G1,∙) este grup

  2. (G2, ∙ ) este grup

  3. (G1, ∙) [image](G2, . ).



Pe R definim legea de compoziţie: x T y = 3xy + 6(x + y) + 10. Fie H = ( - 2; [image]). Arătaţi că: (H, T) este o structură algebrică comutativă, cu element neutru şi că orice element din H este simetrizabil în raport cu legea “T” .



În mulţimea [image]se consideră submulţimea [image] şi matricele [image] şi [image].

Să se arate că [image] şi [image].

Să se arate că dacă A, BG atunci A + BG.

Să se verifice că mulţimea G împreună cu operaţia de adunare a matricelor este grup comutativ.



Fie mulimea: G = [image].

  1. Să se arate că: ([image]) este grup

  2. Verificaţi izomorfismul de grupuri: ([image])  (Z, + ).



Se consideră mulţimea [image], unde matricea [image]

Să se verifice[image]unde [image].

Să se determine elementul neutru din grupul [image]

Să se arate că funcţia [image] [image]este morfism între grupurile [image] şi [image]



Se consideră mulţimea [image] unde matricea [image], [image]

  1. Să verifice că [image]unde [image].

  2. Să se determine elementul neutru din grupul [image].

  3. Să se demonstreze că funcţia [image] [image]este morfism de grupuri.



Se consideră matricea [image], pentru [image] şi mulţimea [image]

  1. Să verifice că. [image] unde [image]

  2. Să demonstreze că [image]unde [image].

  3. Să se arate că [image] este grup în raport cu înmulţirea matricelor.



În mulţimea [image]se consideră submulţimea [image] şi matricele [image] şi [image].

  1. Să se arate că [image] şi [image].

  2. Să se arate că dacă [image]atunci [image].

  3. Să se verifice că mulţimea G împreună cu operaţia de adunare a matricelor este grup comutativ.



Fie mulţimea [image]

  1. Să se verifice dacă 0 şi 1 aparţin mulţimii G.

  2. Să se demonstreze că pentru [image] avem [image]

  3. Să se arate că dacă [image] atunci [image].



În mulţimea [image]se consideră [image], [image] şi [image] unde [image].

  1. Să se calculeze [image], unde [image].

  2. Să se verifice dacă [image], [image]

  3. Să se calculeze suma [image].



Se consideră mulţimea [image], unde matricea [image]

  1. Să se verifice[image]unde [image].

  2. Să se determine elementul neutru din grupul [image]

  3. Să se arate că funcţia [image] [image]este morfism între grupurile [image] şi [image] .



Fie mulţimea [image].

  1. Să se verifice dacă [image] [image]

  2. Să se arate că [image]este element neutru faţă de operaţia de înmulţire a matricelor pe M.

  3. Să se determine simetricul elementului [image]în raport cu operaţia de înmulţire a matricelor pe mulţimea M.



Se consideră mulţime [image]

  1. Să se verifice [image] şi [image]

  2. Să se arate că pentru [image] are loc egalitatea [image]

  3. Să se demonstreze că inversa oricărei matrice din G aparţine mulţimii G.



Se consideră mulţimea [image] Pentru [image]se notează [image], unde[image].

  1. Să se arate că [image], [image].

  2. Să se arate că dacă [image]atunci [image]

  3. Să se determine [image]astfel încât [image]



Se consideră mulţimea [image] unde matricea [image], [image]

  1. Să verifice că [image]unde [image].

  2. Să se determine elementul neutru din grupul [image].

  3. Să se demonstreze că funcţia [image] [image]este morfism de grupuri.



Se consideră matricea [image] şi mulţimea [image] şi [image]

  1. Să se arate că dacă [image]atunci [image]

  2. Să se arate că dacă [image] atunci există [image] astfel încât [image].

  3. Să se arate că G este grup comutativ în raport cu adunarea matricelor.



Se consideră matricea [image], pentru [image] şi mulţimea

[image]

  1. Să verifice că. [image] unde [image].

  2. Să demonstreze că [image]unde [image].

  3. Să se arate că [image] este grup în raport cu înmulţirea matricelor.



În mulţimea [image]se consideră submulţimea [image] şi matricele [image] şi [image].

  1. Să se arate că [image] şi [image].

  2. Să se arate că dacă [image]atunci [image].

  3. Să se verifice că mulţimea G împreună cu operaţia de adunare a matricelor este grup comutativ.



Fie mulţimea [image]

  1. Să se verifice dacă 0 şi 1 aparţin mulţimii G.

  2. Să se demonstreze că pentru [image] avem [image]

  3. Să se arate că dacă [image] atunci [image].



Se consideră mulţimea [image], unde matricea [image]

  1. Să se verifice[image]unde [image].

  2. Să se determine elementul neutru din grupul [image]

  3. Să se arate că funcţia [image] [image]este morfism între grupurile [image] şi [image]



Fie mulţimea [image].

  1. Să se verifice dacă [image] [image]

  2. Să se arate că [image]este element neutru faţă de operaţia de înmulţire a matricelor pe M.

  3. Să se determine simetricul elementului [image]în raport cu operaţia de înmulţire a matricelor pe mulţimea M.



Se consideră mulţime [image]

  1. Să se verifice [image] şi [image]

  2. Să se arate că pentru [image] are loc egalitatea [image]

  3. Să se demonstreze că inversa oricărei matrice din G aparţine mulţimii G.



Se consideră mulţimea [image] Pentru [image]se notează [image], unde[image].

  1. Să se arate că [image], [image].

  2. Să se arate că dacă [image]atunci [image]

  3. Să se determine [image]astfel încât [image]



Se consideră mulţimea [image].

  1. Să se verifice că [image].

  2. Să se demonstreze că [image], pentru [image].

  3. Să se arate că orice element din mulţimea G are invers în G în raport cu înmulţirea numerelor reale.