Determinați intervalul [a; b] ⊂ R, ştiind că sunt ȋndeplinite simultan condițiile:

  1. [a;b]∩Z=∅;

  2. [image]



Aratati ca [image], oricare ar fi a, b ∈[image]



Sa se arate ca daca x2 + y2 = x + y + 1, atunci: x, y Î[image].



Aratati ca ( x2 + 2x)(x2 + 2x + 2) +2 >0 si ( x3 – x)(x3 – x – 4) + 6 >0, ([image]) x∈R.



Aratati ca [image].



Aratati ca [image], oricare ar fi x∈[-2;1].



Aratati ca [image], oricare ar fi a<0.



Lungimile laturilor unui triunghi sunt a, b, c.

  1. Sa se arate ca exista un triunghi care are laturile de lungimi [image]

  2. Sa se demonstreze ca [image].



Precizaţi elementele şi cardinalul mulţimii

  1. A = {x | x ∈ Z, |2x-3| ≤ 5};

  2. B = {x | x ∈ Z, |3x+1| ≤ 12};

  3. C = {x | x ∈ Z, |5x-7| ≤ 3};

  4. D = {x | x ∈ Z, |4x+11| ≤ 5};

  5. E = {x | x ∈ Z, |6x-11| ≤ 5};

  6. F = {x | x ∈ Z, |2x-13| ≤ 4};



Să se demonstreze că [image], oricare ar fi n ∈N*.



Dacă a, b, c ∈ (0 , ∞), arătaţi că :

  1. [image];

  2. [image];

  3. [image].



Demonstraţi inegalitatea : [image]



Demonstraţi că :

[image]



Dacă a, b ∈ (0, 1] şi n > 0, demonstraţi că:[image].



Fie x şi y numere reale pozitive. Să se arate că: [image]



Arătaţi că pentru orice n[image]N*, are loc egalitatea:

[image]<[image]



Dacă a, b ∈ (0; 1] şi n > 0, demonstraţi că [image]



Să se arate că :

[image] oricare ar fi x ∈ [0;3]



Să se arate că pentru a, b, c>0 are loc inegalitatea [image] .



Demonstraţi inegalitatea[image]



Fie a,b,c[image]şi a+b+c=16. Arătaţi că: [image]



Arătaţi că : [image]



Fie a, b, c,∈;[image]; arătaţi că:

  1. [image];

  2. [image], ştiind că a×b×c=1.



Fie a, b, c > 0 . Să se demonstreze că:

  1. [image]

  2. [image]



Numerele reale pozitive a şi b verifică relația a + b + ab = 3.

  1. Verificați că, dacă a = 2, atunci a + b > 2 > √a + √b.

  2. Demonstrați că a + b ≥ √a + √b, pentru orice a, b.