Inele

 

Se consideră inelul [image]

Să se calculeze numărul elementelor inversbile în raoprt cu înmulţirea din inelul [image]



Se consideră S suma soluţiilor ecuaţiei [image]şi P produsul soluţiilor ecuaţiei [image] unde [image] Să se calculeze S+P.



Să se calculeze probabilitatea ca alegând un element din inelul [image] acesta să fie soluţie a ecuaţiei [image]



Se consideră [image] inelul claselor de resturi modulo 8.



Să se calculeze în [image]suma [image]



Să se calculeze în [image] produsul elementelor inversabile ale inelului.



Să se rezolve în [image] sistemul [image].



Se consideră inelul [image].

  1. Să se calculeze numărul elementelor inversabile în raport cu înmulţirea din inelul [image].

  2. Să se calculeze suma soluţiilor ecuaţiei [image]

  3. Să se calculeze probabilitatea ca alegând un element din inelul [image], acesta să fie soluţie a ecuaţiei [image]



Se consideră inelul [image].

  1. Să se calculeze suma soluţiilor ecuaţiei [image]

  2. Să se calculeze determinantul [image].

  3. Să se rezolve sistemul [image].



Demonstraţi că aplicaţia f: Z[image]M2(Z), f(a) = [image], [image]a[image]Z, este un morfism injectiv de inele.



Pe mulţimea R se consideră operaţiile: xTy = x + y – 1, x[image]y = x + y – xy. Să se arate că (R, T, [image]) este inel izomorf cu (R, +, .), prin f: R[image]R, f(x) = 1 – x.



Pe mulţimea A = R X R, se definesc legile de compoziţie:(x, y) + (x, y) = (x + x , y + y), (x, y)∙(x, y) = (xx, xy + xy ), împreună cu care formează un inel comutativ. Demonstraţi că acest inel este izomorfm cu inelul matricelor: A =[image], împreună cu operaţiile de adunare şi înmulţire uzuale.



Pe Z se definesc aplicaţiile: x[image]y = x + y – 2, x[image]y = xy – 2(x + y) +6, împreună cu care devine domeniu de integritate. Să se arate că există izomorfismul de inele: (Z, [image], [image])[image] (Z, + , . ), dat de f(x) = [image]x + [image].