Legi de Compozitie


Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie [image].

  1. Arătaţi că:[image].

  2. Dată mulţimea G=(5,[image]), arătaţi că pentru orice elemente x,y ∊ G avem x[image].

  3. Arătaţi că [image].

  4. Determinaţi elemental neutru al legii de compoziţie



Fie legea de compoziţie [image]

  1. Aratati că [image]

  2. Calculaţi [image]

  3. Calculati [image]

  4. Rezolvaţi ecuaţia [image]

  5. Stiind că [image], să se arate că [image]



Fie legea de compoziţie [image].

  1. Arataţi că [image]

  2. Calculaţi [image]

  3. Calculaţi [image]

  4. Rezolvaţi ecuaţia [image]

  5. Stiind că [image], să se arate că [image]



Pe mulţimea numerelor reale definim operaţia [image], pentru orice [image].

Să se verifice că [image] pentru orice [image].

Să se calculeze [image]

Ştiind că operaţia „[image]” este asociativă, să se calculeze [image]



Fie legea de compoziţie [image].

  1. Arataţi că [image]

  2. Calculaţi [image]

  3. Calculaţi [image]

  4. Rezolvaţi ecuaţia [image]

  5. Stiind că [image], să se arate că [image]



Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie [image]

  1. Să se calculeze [image]

  2. Să se verifice că [image] pentru orice [image].

  3. Ştiind că legea „[image]” este asociativă, să se se rezolve în mulţimea numerelor reale, ecuaţia [image]



Pe mulţimea numerelor întregi se definesc legile de compoziţie [image] şi [image]

  1. Să se rezolve în mulţimea numerelor întregi ecuaţia [image]

  2. Să se determine numărul întreg a care are proprietatea [image]oricare ar fi numărul întreg x

  3. Să se rezolve sistemul de ecuaţii [image] unde [image]



Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie [image]

  1. Să se demonstreze că [image], [image].

  2. Să se determine elementul neutru al legii de compoziţie „[image]”.

  3. Ştiind că legea de compoziţie „[image]” este asociativă să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia [image]



Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie [image].

  1. Să se arate că [image], [image].

  2. Să se arate că legea de compoziţie „[image]” este asociativă.

  3. Să se rezolve în R ecuaţia [image]



Pe mulţimea Z se consideră legile de compoziţie [image] [image] cu [image] şi funcţia [image] definită prin [image]

  1. Să se demonstreze că [image] [image].

  2. Să se determine [image] pentru care legea de compoziţie „[image]” este asociativă.

  3. Dacă [image]să se arate că funcţia f este morfism între grupurile [image] şi [image].



Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie [image].

  1. Să se calculeze [image].

  2. Să se rezolve în R ecuaţia [image]

  3. Să se demonstreze că nu există [image] pentru care [image].



Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie [image].

  1. Să se calculeze [image]

  2. Să se demonstreze că legea de compoziţie „[image]” este asociativă.



Ştiind că [image] şi [image] [image] să se arate că [image]



Se consideră mulţimea [image]şi operaţia [image] [image]

  1. Să se determine mulţimea soluţiilor reale ale ecuaţiei [image]unde e este baza logaritmului natural.

  2. Să se demonstreze că [image]pentru [image]

  3. Să se că operaţia „[image]” este asociativă pe mulţimea G.



Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie [image] pentru [image].

  1. Să se arate că [image][image]

  2. Să se rezolve în R ecuaţia [image]

  3. Să se determine elementele simetrizabile în raport cu legea „[image]”.



Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie [image] [image].

  1. Să se arate că [image], [image]

  2. Să se determine elementul neutru, ştiind că legea de compoziţie „[image]” este asociativă şi comutativă.

  3. Să se determine [image] [image] astfel încât [image]



Pe mulţimea numerelor întregi definim legile de compoziţie [image] şi [image].

  1. Să se rezolve în Z ecuaţia [image].

  2. Să se arate că [image].

  3. Să se rezolve în mulţimea ZXZ sistemul [image].



Pe mulţimea numerelor întregi se defineşte legea de compoziţie [image]

  1. Să se arate că legea de compoziţie „[image]” este asociativă.

  2. Să se rezolve ecuaţia [image]

  3. Să se demonstreze că [image]este grup comutativ.



Pe mulţimea numerelor reale se consideră legile de compoziţie [image] şi [image]

  1. Să se verifice că [image][image].

  2. Ştiind că [image] este elementul neutru în raport cu legea de compoziţie „[image]” şi [image]este elementul neutru în raport cu legea de compoziţie „[image]” să se calculeze [image]

  3. Se consideră funcţia [image], [image]. Să se determine [image] astfel încât [image],[image].



Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie [image], [image].

  1. Să se arate că [image], [image].

  2. Să se arate că legea „[image]” are elementul neutru e=4.

  3. Să se determine elementele simetrizabile ale mulţimii R în raport cu legea „[image]”.



Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie [image] [image].

  1. Să se rezolve ecuaţia [image].

  2. Să se demonstreze că legea „[image]” este asociativă.

  3. Să se demonstreze că [image]este grup.



Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie [image]

  1. Să se verifice că [image], [image]

  2. Să se calculeze [image]

  3. Să se rezolve ecuaţia [image]unde [image].



Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie [image].

  1. Să se demonstreze că [image] [image].

  2. Să se demonstreze că legea „[image]” este asociativă.

  3. Să se calculeze [image]



Pe mulţimea Z se consideră legile de compoziţie [image] şi respectiv [image].

  1. Să se demonstreze că [image].

  2. Să se determine elementele neutre ale fiecăreia dintre cele două legi de compoziţie.

  3. Să se rezolve sistemul [image].



Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie [image].

  1. Să se demonstreze că [image], [image].

  2. Să se rezolve ecuaţia [image].

  3. Ştiind că operaţia „[image]” este asociativă, să se calculeze [image]



Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie [image].

  1. Să se demonstreze că [image], [image].

  2. Să se determine perechile [image] pentru care [image]

  3. Ştiind că legea „[image]” este asociativă, să se calculeze valoarea expresiei

  4. [image]



Pe mulţimea numerelor reale se consideră legile de compoziţie [image] şi respectiv [image].

  1. Să se verifice că[image], [image].

  2. Să se rezolve în R ecuaţia [image]

  3. Să se rezolve sistemul de ecuaţii [image]



Fie mulţimea [image]

  1. Să se verifice dacă 0 şi 1 aparţin mulţimii G.

  2. Să se demonstreze că pentru [image] avem [image]

  3. Să se arate că dacă [image] atunci [image].



În mulţimea [image]se consideră [image], [image] şi [image] unde a∊R.

  1. Să se calculeze [image], unde [image].

  2. Să se verifice dacă [image], [image]

  3. Să se calculeze suma [image].

.



Fie mulţimea [image].

  1. Să se verifice dacă [image] [image]

  2. Să se arate că [image]este element neutru faţă de operaţia de înmulţire a matricelor pe M.

  3. Să se determine simetricul elementului [image]în raport cu operaţia de înmulţire a matricelor pe mulţimea M.



Se consideră mulţime [image]

  1. Să se verifice [image] şi [image]

  2. Să se arate că pentru [image] are loc egalitatea [image]

  3. Să se demonstreze că inversa oricărei matrice din G aparţine mulţimii G.



Se consideră mulţimea [image] Pentru [image]se notează [image], unde[image].

  1. Să se arate că [image], [image].

  2. Să se arate că dacă [image]atunci [image]

  3. Să se determine [image]astfel încât [image]



Pe R se defineşte legea de compoziţie x*y = xy+2x+2y+2.

  1. Calculaţi (-3)*2; 2*3

  2. Demonstraţi că x*y=(x+2)(y+2)-2, [image]

  3. Demonstraţi că legea ” * ” este comutativă şi asociativă.

  4. Demostraţi că x*(-2)=-2, [image].

  5. Calculaţi A= (-2010)*(-2009)*…* (-3)*(-2)*(-1)*1*…*2010.

  6. Demonstraţi că [image]=[image][image].



Se consideră mulţime

M=[image] şi operaţia de înmulţire a matricelor.

  1. Demonstraţi că legea este asociativă, comutativă şi cu element neutru.

  2. Determinaţi U(M).



Pe R se defineşte legea de compoziţie x*y = xy + ax + y, [image].

  1. Sa se determine a ∊ Z ştiind că 2*3=11.

  2. Să se determine a ∊ Z ştiind că legea „ * ” este comutativă.



Fie [image], [image],

  1. Determinaţi [image], astfel încât [image],

  2. Rezolvaţi sistemul: [image]

  3. Determinaţi [image] astfel încât: [image]



Fie [image] şi [image] lege de compoziţie pe M. Rezolvaţi ecuaţiile:

[image] [image]



Fie [image] şi legile de compoziţie: [image],[image], [image]

  1. Scrieţi axiomele pe care trebuie să le verifice legile de compoziţie [image] astfel încât tripletul [image] să fie inel comutativ

  2. Demonstraţi că dacă [image], atunci [image],

  3. Să se determine elementele inversabile ale acestui inel



Pe mulţimea [image] se defineşte o lege de compoziţie astfel:

  1. [image] , dacă x se divide prin y,

  2. [image] , dacă y se divide prin x,

  3. [image] , în caz contrar

Să se determine perechile [image], astfel încât [image]

Să se verifice dacă mulţimea [image] este parte stabilă în [image]



Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie [image]

  1. Demonstraţi că [image]

  2. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia [image]

  3. Calculaţi [image]



Pe R se defineşte legea de compoziţie [image].

  1. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia [image]

  2. Să se studieze asociativitatea legii de compoziţie.

  3. Să se găsească simetricul lui [image].



Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie [image]

  1. Demonstraţi că [image]

  2. Să se determine simetricul lui 4 în raport cu legea „[image].

  3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia [image]



Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie [image]

  1. Demonstraţi că [image]

  2. Demonstraţi că legea „[image] este asociativă.

  3. Fie funcţia [image] Să se verifice relaţia [image]



Pe R se defineşte legea de compoziţie [image]

  1. Să se studieze asociativitatea legii de compoziţie.

  2. Rezolvaţi în mulţimea numerelor întregi ecuaţia [image]

  3. Să se demonsteze că legea „[image] admite element neutru.



Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie [image]

  1. Demonstraţi că [image]

  2. Să se determine simetricul lui 4 în raport cu legea „[image].

  3. Să se demonsteze că legea „[image] admite element neutru.



Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie

[image] [image].

  1. Să se arate că [image] [image].

  2. Să se determine elementul neutru al legii de compoziţie „[image]” pe mulţimea R.

  3. Ştiind că legea „[image]” este asociativă, să se calculeze [image]



Se consideră mulţimea [image] Pentru [image]se notează [image], unde[image].

  1. Să se arate că [image], [image].

  2. Să se arate că dacă [image]atunci [image]

  3. Să se determine [image]astfel încât [image]



Se consideră matricea [image], pentru [image] şi mulţimea

[image]

  1. Să verifice că. [image] unde [image].

  2. Să demonstreze că [image]unde [image].

  3. Să se arate că [image] este grup în raport cu înmulţirea matricelor.



Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie

[image].

  1. Să se rezolve ecuaţia [image]

  2. Să se demonstreze că legea de compoziţie „[image]” este asociativă.

  3. Să se determine elementul neutru al legii de compoziţie „[image]”.



Pe mulţimea numerelor reale definim operaţia pentru [image] pentru orice [image].

  1. Să se verifice că [image] pentru orice [image].

  2. Să se rezolve, în mulţimea numerelor reale, ecuaţia [image]

  3. Ştiind că operaţia „[image]” este asociativă, să se calculeze [image]



Pe R se consideră legile de compoziţie [image] şi [image]

  1. Aratati că [image][image].

  2. Dacă [image] este elementul neutru în raport cu legea de compoziţie „[image]” şi [image]este elementul neutru în raport cu legea de compoziţie „[image]” calculati [image]

  3. Fie funcţia [image], [image]. Aflati [image] astfel încât [image],[image].



Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie [image] [image].

  1. Să se determine [image] astfel încât legea „[image]” să fie comutativă.

  2. Să se arate că pentru a=3 şi b=6 legea „[image]” admite element neutru.

  3. Să se determine a şi b astfel încât [image] pentru [image].



Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie

[image].

  1. Aratati că [image], [image]

  2. Calculati [image]

  3. Rezolvati ecuaţia [image]unde [image].