Matrice



Fie A = [image] şi f(X) = X2 + 3X-I3 Calculaţi f(A)



Se dau matricele A=[image] M2(R) și B=[image] M2(R). Calculati:

  1. Tr(A)

  2. a21-b222

  3. A+B

  4. tB



Se consideră matricele [image] şi [image]

  1. Să se calculeze matricea B2, unde B2 = B∙B

  2. Să se verifice că [image]

  3. Să se arate că [image] unde [image] şi [image]



Calculaţi[image]



Fie A = [image] şi X = [image].

  1. Sa se determine x si y astfel incit AX = XA

  2. Sa se calculeze An şi S = [image] .



Se consideră matricea A=[image] M3(R).Calculati:

  1. Matricea A2

  2. Matricea tA



Se consideră matricele [image] şi [image].



Definim matricele [image]şi [image]unde [image]şi [image]este transpusa matricei Y.

  1. Să se arate că matricea [image].

  2. Să se calculeze determinantul matricei A.

  3. Să se arate că matricea B(a) este inversabilă, [image]



Fie A = [image] Calculaţi An



Se consideră matricea A(x)= [image] M2(R).

  1. Calculați A(1)+ A(2)+ A(3).

  2. Pentru care xR, A(x)= I2

  3. Calculați A(0)× A(2)×A(3).



Se consideră matricea [image] Se notează [image], [image]

  1. Să se calculeze determinantul matricei A.

  2. Să se arate că A2 + A3 = O2

  3. Să se calculeze suma A + 2A2 +...10A10



Se dă matricea [image]. Arătați că A2=-A și calculați A+ A2 +A3+...+ A2009.



Se consideră matricele [image] cu [image] şi [image].

  1. Să se arate că dacă XA = B, atunci (a2 – 9)x = 0

  2. Să se determine valorile reale ale numărului a pentru care determinantul matricei A este nenul.

  3. Să se determine trei soluţii distincte ale sistemului de ecuaţii [image]



Se consideră matricele[image], [image] şi [image]

din M3(R) Pentru [image] se notează cu [image]

  1. Să se verifice că [image]

  2. Să se calculeze suma [image]

  3. Să se calculeze inversa matricei [image]



Se consideră matricile:[image],[image]

Utilizând metoda inducţiei matematice, să se arate că Bn = I2 + nA, [image]N*.



Se consideră matricea [image], xR.

  1. Să se verifice egalitatea A2=(2x-6)A-(x2-6x+8) I2

  2. Să se determine xR pentru care A2=2A.



Fie [image], B=tA.

  1. Să se calculeze AB și BA;

  2. Să se determine X M2,3(R),dacă[image].



Să se determine matricea [image] dacă [image].



Se consideră matricea [image]

  1. Să se calculeze [image]unde [image]

  2. Ştiind că [image] [image] [image] şi [image], să se rezolve ecuaţia [image]

  3. Să se determine matricea [image]



Se consideră matricele[image] şi [image] ∈n [image]

  1. Să se verifice că [image]

  2. Să se calculeze [image]unde [image]şi [image]

  3. Să se arate că[image] unde [image] şi [image]



Se consideră mulţimea [image]

  1. Să se verifice dacă matricele [image] şi respectiv[image] aparţin mulţimii G.

  2. Să se determine matricea [image]astfel ∈ncât [image] [image]

  3. Să se demonstreze că inversa oricărei matrice din G este tot o matrice din G.



Se consideră matricele [image][image]şi

funcţia [image], [image] unde[image]

  1. Să se calculeze [image]

  2. Să se demonstreze că [image]

  3. Să se arate că [image], unde [image]



Fie matricea [image] cu [image], [image] şi [image]sunt soluţiile ecuaţiei [image]

  1. Să se calculeze determinatul matricei A(0).

  2. Să se determine matricea [image]

  3. Să se calculeze suma elementelor matricei A(k) pentru fiecare[image].



Se consideră matricele [image], [image] şi [image], unde [image]

  1. Să se calculeze [image]unde [image].

  2. Să se verifice că [image] unde [image].

  3. Ştiind că [image] cu [image]să se arate că există [image] astfel ∈ncât [image]



Se consideră matricele [image] şi [image].

  1. Să se calculeze [image]unde [image].

  2. Să se verifice că [image]

  3. Să se determine matricele[image] care verifică egalitatea [image]



Se consideră mulţimea [image]unde[image] şi [image].

  1. Să se verifice că [image]

  2. Să se determine matricele inversabile din mulţimea M ∈n raport cu operaţia de ∈nmulţire din [image]

  3. Ştiind că [image]să se arate că [image]



Se consideră matricele [image] şi[image].

  1. Să se calculeze [image].

  2. Să se calculeze [image]

  3. Să se demonstreze că [image]

  4. Să se demonstreze folosind eventual metoda inducţiei matematice, că are loc egalitatea [image]



In mulţimea [image] notăm cu [image]transpusa matricei A.

  1. Să se calculeze [image] unde[image]

  2. Să se demonstreze că pentru [image]şi [image]are loc relaţia [image]

  3. Să se determine matricele [image]pentru care [image] unde [image].



Se consideră mulţimea [image] Pentru [image]se notează [image], unde [image]

  1. Să se arate că [image] [image]

  2. Să se arate că dacă [image]atunci [image]

  3. Să se determine [image]astfel ∈ncât [image]



Fie M=[image].

  1. Arătaţi că [image]avem că [image]

  2. Determinaţi [image]astfel ∈ncât [image]

  3. Determinaţi [image]astfel ∈ncât [image],[image].



Se consideră mulţimea [image]şi matricea [image].

  1. Să se calculeze determinantul matricei A(1; 1)

  2. Să se demonstreze că dacă [image]atunci [image]

  3. Să se arate că [image] [image]



In mulţimea [image]se consideră matricele [image]şi [image].

  1. Să se determine numerele a, b şi c astfel ∈ncât [image].

  2. Să se arate că a = c = 0 şi b= -1 pentru matricea A este inversa matricei F.

  3. Să se rezolve ecuaţia [image], unde [image]



Se consideră mulţimea [image]şi matricea [image].

  1. Să se arate că [image].

  2. Ştiind că [image]să se arate că [image].

  3. Să se demonstreze că [image] [image].



Se consideră mulţimea [image]şi matricea [image].

  1. Să se arate că [image].

  2. Să se demonstreze că produsul a două matrice din M este o matrice din M.

  3. Ştiind că [image] cu [image] să se demonstreze că [image] unde [image]



Se consideră matricele [image], [image] din [image].Se notează cu [image]transpusa matricei A.

  1. Ştiind că [image] şi [image], să se calculeze [image].

  2. Să se calculeze [image]

  3. Să se demonstreze că dacă suma elementelor matricei[image] este egală cu 0, atunci [image].



Se consideră matricele[image] şi[image] din [image]. Se notează [image].

  1. Să se calculeze [image].

  2. Să se verifice că [image].

  3. Ştiind că [image]şi [image]cu [image], să se demonstreze că [image].



Se consideră matricele [image], [image], [image] şi mulţimea

[image].

  1. Să se verifice că [image], unde[image].

  2. Să se determine inversa matricei M(1; 1).

  3. Să se determine matricele inversabile din mulţimea G.



Se consideră matricele [image] şi [image] din [image]. Se notează [image] pentru [image]

  1. Să se calculeze [image].

  2. Să se determine inversa matricei X.

  3. Să se determine numărul real r astfel ∈ncât [image].



Se consideră matricele de forma [image], unde [image].

  1. Să se calculeze [image].

  2. Să se calculeze [image], unde [image]

  3. Să se determine matricele [image]pentru care [image], [image].



Se consideră mulţimea[image] şi matricea [image].

  1. Să se arate că [image].

  2. Ştiind că [image], să se arate că [image].

  3. Să se demonstreze că[image], [image]



Se consideră matricea [image], unde a >0.

  1. Să se calculeze [image], [image].

  2. Să se arate că[image], [image].

  3. Să se calculeze determinantul matricei [image].



Determinaţi x[image][0, 2[image]], astfel ∈ncât matricea A , să fie antisimetrică, ∈n cazurile:

  1. A = [image]

  2. A = [image].



In mulţimea matricelor pătratice [image]se consideră matricea [image]. Se notează [image], [image]

  1. Să se arate că [image].

  2. Să se determine matricele [image] [image], astfel ∈ncât [image]

  3. Ştiind că [image] [image] să se demonstreze că

[image][image].



Se consideră matricea [image].

  1. Să se calculeze [image].

  2. Să se demonstreze că[image] unde [image]

  3. Să se demonstreze că [image], unde [image] şi [image].



In[image] se consideră matricele [image], [image].

  1. Să se calculeze [image].

  2. Să se verifice dacă [image][image].

  3. Să se determine inversa matricei [image]



Se consideră matricele [image] [image].

  1. Să se calculeze determinantul matricei A.

  2. Să se calculeze [image] ştiind că [image].

  3. Să se calculeze inversa matricei [image].



Se consideră matricele: Ak = [image], k[image]N* , Bk = [image] k[image]N* Calculaţi sumele: Sn = [image]; Tn = [image].



Se consideră matricele [image], [image] şi mulţimea

[image]

  1. Să se determine [image], astfel ∈ncât [image].

  2. Să se demonstreze că [image], unde [image] şi[image].

  3. Să se arate că dacă [image], atunci [image]astfel ∈ncât [image].



In[image] se consideră matricele[image], [image] şi submulţimea

[image].

  1. Să se verifice dacă [image] aparţine mulţimii G.

  2. Să se arate că [image] [image].

  3. Să se arate că pentru [image] inversa matricei [image] este matricea [image].



Se consideră matricele [image], [image] şi [image].

  1. Să se calculeze determinantul matricei A.

  2. Să se calculeze [image] unde[image] şi[image]

  3. Să se arate inversa matricei B este [image].



In mulţimea [image] se consideră matricele[image], [image] şi [image], unde a ∈ R.

  1. Să se demonstreze că [image].

  2. Să se calculeze [image].

  3. Să se domonstreze că [image], [image].



Se consideră matricele [image], [image], [image]cu [image].

  1. Să se determine numărul real x astfel ∈ncât [image].

  2. Să se verifice că[image], unde[image].

  3. Să se determine numărul real a astfel ∈ncât[image], unde[image].



Se consideră matricele[image], [image]şi[image]. Se notează [image].

  1. Să se calculeze AB.

  2. Să se demonstreze că [image].

  3. Să se calculeze inversa matricei [image].



Fie A = [image]; se cere:

  1. calculaţi A2

  2. să se arate, că: An = A, [image]N*;

  3. demonstraţi, că:A + 2A2 +3A3 + …+ nAn = [image]A, [image]N*.



Se consideră matricele [image], [image], [image]cu [image] şi [image].

  1. Să se determine[image] astfel ∈ncât [image].

  2. Pentru a =3 să se verifice că [image].

  3. Pentru a =3 să se rezolve ecuaţia matriceală [image].



Fie măricea[image]. Pentru [image]fixat, definim [image].

  1. Să se calculeze [image] pentru a=1.

  2. Să se calculeze[image]unde [image].

  3. Să se demonstreze că [image] şi să se determine [image].



In [image]se consideră matricele[image], unde [image],[image]şi

submulţimea [image].

  1. Să se calculeze [image].

  2. Să se demonstreze că [image] , [image], unde [image].

  3. Să se arate că dacă [image], atunci matricea [image].



Fie A = [image] [image] si f(X) = Xn + Xn-1 + …+X + I2 , X[image].

  1. Calculati An

  2. Sa se determine f(A).



In mulţimea [image] se consideră matricele [image], [image] şi [image].

  1. Să se calculeze [image], unde [image].

  2. Să se demonstreze că [image], unde [image].

  3. Să se demonstreze că matricea A verifică egalitatea [image].



Pentru fiecare [image]se consideră matricele [image] şi [image].

  1. Să se determine valorile lui x pentru care[image].

  2. Să se determine[image]astfel ∈ncât [image], unde[image]

  3. Să se demonstreze că [image]



In mulţimea [image]se consideră matricele[image], [image] şi [image].

  1. Să se calculeze AB.

  2. Să se demonstreze că [image] şi [image], unde [image]

  3. Să se demonstreze că[image], unde [image]



Se dau matricele Ak = [image] si Bk = [image] .Calculati [image] si [image].

Consideram [image] Sa se arate ca

  1. [image]=[image]

  2. [image]=[image]