Metoda lui Cramer



Sǎ se rezolve în R2 sistemele urmǎtoare:

  1. [image];

  2. [image]



Se considerǎ sistemul:[image] a∊R.

  1. Determinaţi a astfel încât sistemul sǎ fie de tip Cramer

  2. Pentru a = 3 rezolvaţi sistemul.



Se considerǎ sistemul:[image] a∊R

  1. Determinaţi a astfel încât sistemul sǎ fie de tip Cramer

  2. Pentru a = 1 rezolvaţi sistemul.



Se considerǎ sistemul:[image] a∊R.Se noteazǎ cu A matricea sistemului

  1. Sǎ se arate cǎ detA∊N.

  2. Pentru a = -4 sǎ se rezolve sistemul ;

  3. Sǎ se determine valoarea parametrului real a, dacǎ (x0, y0, z0) este soluţie a sistemului şi cǎ x0+y0+z0 = 4.



Se considerǎ triunghiul ABC, cu laturile AB = c, BC = a, CA = b şi sistemul:[image]

  1. Sǎ se rezolve sistemul în cazul a = 3, b = 4, c = 5;

  2. Sǎ se demonstreze cǎ pentru orice triunghi,sistemul are soluţie unicǎ.

  3. Ştiind cǎ soluţia sistemului este (x0, y0, z0),sǎ se demonstreze cǎ x0, y0, z0 ∊ (-1, 1).



Se considerǎ a ∊ R,sistemul [image] şi A matricea sistemului.

  1. Sǎ se arate cǎ detA≠0;

  2. Sǎ se arate cǎ soluţia sistemului este formatǎ din trei numere în progresie geometricǎ;

  3. Sǎ se determine inversa matricei A.



Pentru p, q, r ∊ C se considerǎ sistemul: [image]

  1. Sǎ se arate cǎ determinantul sistemului este [image];

  2. Dacǎ p, q, r sunt distincte sǎ se rezolve sistemul;

  3. Sǎ se arate cǎ, dacǎ sistemul are soluţia (-1, 1, 1),atunci cel puţin douǎ dintre numerele p, q, r sunt egale.



Fie sistemul de ecuaţii liniare :[image],unde mR. Sǎ se determine mZ astfel încât sistemul sǎ aibǎ o soluţie unicǎ (x0, y0, z0) ∊ Z3.



Se considerǎ sistemul de ecuaţii [image] cu a ∊ Z.Sǎ se determine cea mai micǎ valoare a numǎrului natural a, pentru care soluţia sistemului este formatǎ din trei numere naturale.