Numere Complexe sub forma Algebrica


Sa se calculeze [image]



Calculaţi [image]



Fie numerele complexe [image] și. [image]. Să se calculeze: [image]; [image]și [image]



Stabiliţi valoarea de adevăr a propoziţiilor:

  1. | 3 – 4i | = 5

  2. i 10 + i 12 = 2



Calculati:

  1. z1= (4+5i) (1-2i), z2= (1+i)-2(1+2i)

  2. z3= (1+2i) + (3+i); z4=[image]

  3. z5= i237+1;



Descompuneţi în factori în mulţimea C

  1. [image]

  2. [image]



Determinaţi numărul complex z care verifică relaţia: [image]  



Să se afle z∊C din [image]



Calculaţi x, y ∊ R, astfel încât:

  1. (3x+i)(-2+yi) =1-2i

  2. (x+iy)(y+xi)=i



Să se determine nr. x, y ∊ R dacă:

  1. [image]

  2. [image]



Calculaţi:

  1. [image]

  2. [image]

  3. [image]



Arătaţi că numărul 1 - 2i este rădăcină a ecuaţiei [image]



Arătaţi ca numărul [image] este real pentru orice valoare naturală a lui n.



Să se determine x, y ∊ R, care verifică egalitatea:

  1. [image]= 1 – 3i

  2. (xi – y)2 = 6 – 8i + (x + y)2

  3. [image]= 1;

  4. [image] = 2

  5. (x + iy)2 = 8 + 6i.



Fie [image], [image], [image]. Calculaţi:

  1. [image]

  2. [image]

  3. [image]



Calculaţi:

  1. [image]

  2. [image]

  3. [image]



Calculati[image].



Calculati [image].



Calculaţi: [image]



Demonstraţi că dacă [image], atunci numărul [image] este imaginar 



Determinaţi numărul real m, pentru care are loc:

  1. (m + i )2 = 24 – 10i

  2. (2m + i )2 +2(m – i)2 = 21.



Determinaţi numerele reale a, b dacă: [image]



Demonstraţi că dacă z ∊ C* atunci:

  1. [image]

  2. [image]este imaginar



Daca z ∊ C astfel încât [image], demonstraţi că [image]



Dacă z2 + z + 1 =0, să se calculeze[image]



Dacă z2 + z + 1 =0, să se calculeze [image] .



Demonstraţi că [image]



Aflaţi [image], astfel încât.

  1. [image]

  2. [image]



Calculaţi:

  1. [image]

  2. [image]



Arătaţi că, dacă [image], atunci z ∊ R



Determinaţi numărele x, y pentru care au loc:

  1. [image]

  2. [image]

  3. [image].



Arătaţi că dacă z ∊ C, astfel încât [image]<[image], atunci [image]<[image]



Demonstraţi egalitătea: [image]



Să se determine numerele reale x,y ştiind că:[image]



Demonstraţi egalităţile:

  1. [image]

  2. [image]



Fie [image]astfel încât [image]şi [image]. Arătaţi că [image]



Fie [image] astfel încât [image] şi [image]. Arătaţi că

[image]



Fie [image] astfel încât >[image] şi [image]. Arătaţi că [image]



Fie z ∊ C -R. Demonstraţi că [image]



Fie Z ∊ C astfel incat Re (Z) [image]5 si [image] ?



Determinaţi z[image], cu proprietatea: z2 = [image]+ i[image]



Determinaţi x, y reali, astfel încât: [image]- [image]= 1 – 3i.



Determinaţi numerele reale x, y din egalitatea:[image]



Pentru x ∊ R se defineşte numărul complex [image] Determinaţi x astfel încât: [image]



Determinati α ∊ R a.i. [image] ∊ R 



Determinaţi m real astfel încât [image], să fie pur imaginar.



Daca [image] sunt nr. complexe sa se arate ca [image] este pur imaginar



Determinaţi m real astfel încât [image] să fie real.



Fie [image] şi numărul complex [image]. Să se determine mulţimea punctelor M(z) pentru care:

  1. Z este real.

  2. Z este pur imaginar. 3. [image]



Fie [image]Calculaţi [image] şi [image].



Fie [image]

  1. Să se arate că [image]şi [image]

  2. Să se arate că [image]

  3. Să se arate că [image]



Calculaţi:

  1. [image]

  2. [image]



Fie z ∈; C \ R. Demonstraţi că dacă [image]R, atunci |z|=1. (C-mulţimea numerelor complexe, R-mulţimea numerelor reale, |z| - modulul numărului complex z)



Se dau numerele complexe [image] şi [image].

  1. Să se determine forma algebrică a numărului z1.

  2. Să se calculeze [image].



Ştiind că [image] demonstraţi că dacă [image]C astfel încât [image],[image] şi [image] atunci [image] şi [image].



Fie z[image]C. Verificaţi egalităţile: Re z = [image], Im z = [image]



Fie z[image]C, z =[image] [image].

Calculaţi Re z.



Fie punctele A şi B de afixe z1 = i respectiv z2= -2 şi mulţimea [image]. Arătaţi că dacă M ∊ H, atunci punctele A, B şi M sunt coliniare.



Să se arate că dacă [image], atunci [image]