Numere Complexe sub forma Trigonometrica



Pentru următoarele numere complexe scrieţi imaginile geometrice şi figuraţi în planul complex:

  1. [image]

  2. [image]

  3. [image]

  4. [image]



Scrieţi afixele punctelor:

  1. A(-2,-5)

  2. B(4,0)

  3. M(3,7)

  4. N(0,-5)



Să se scrie sub formă trigonometrică numerele complexe:

  1. z = 3

  2. z= -3

  3. z=5i

  4. z=3+4i

  5. z=1+i

  6. z=-1+I

  7. z=1+i[image]

  8. z=[image]

  9. [image]

  10. [image]

  11. [image]

  12. [image]

  13. z=2-2i

  14. z=-2-2i



Interpretaţi geometric egalităţile:

  1. [image]

  2. [image]

  3. [image]



Să se scrie sub formă algebrică numerele complexe:

  1. z = 5(cos0 + isin0)

  2. [image]

  3. [image]

  4. [image]

  5. [image]

  6. [image]

  7. [image]

  8. [image]

  9. [image] j) [image]



Fie z = 2 + i. Figuraţi imaginile geometrice ale numerelor 2z, -3z, -z, [image]



Să se scrie sub formă trigonometrică numerele complexe:

  1. sin a+icos a, [image]

  2. –cosa – isina, [image]

  3. –cosa +isina [image]

  4. sina-icosa [image]

  5. 1+cosa +isina, [image]

  6. 1+cosa +isina, [image]

  7. 1+itga [image]



Să se determine [image] şi Arg[image] pentru:

  1. z = sina + isina, a ∊ R

  2. z = sina +(1+ cosa)i, a ∊ R

  3. cosa - isina, a ∊ R

  4. z = cosa + sina + i(sina – cosa), a ∊ R

  5. z = 1 - cosa + isina, a ∊ R



Să se calculeze produsele de numere complexe, precizând modulul şi argumentul:

  1. [image]

  2. [image]

  3. [image]



Să se scrie sub formă algebrică produsul numerelor:

  1. [image]

  2. [image]



Folosind scrierea sub formă trigonometrică să se determine | z | şi arg(z) pentru numerele:

  1. [image]

  2. [image]

  3. [image]

  4. [image]e) [image]



Să se verifice egalităţile pentru n ∊ N*, pe domeniul de existenţă:

  1. [image]

  2. [image]



Să se simplifice expresiile:

  1. [image]

  2. [image]



Fie [image]

  1. să se determine forma trigonometrică a numerelor [image] şi [image]

  2. să se scrie z atât în formă algebrică cât şi în formă trigonometrică

  3. să se determine [image] şi cos[image]



Se consideră ecuaţia [image]

  1. să se rezolve ecuaţia

  2. să se determine argumentele reduse ale soluţiilor

  3. să se calculeze aria poligonului convex cu vârfurile în punctele imaginare ale soluţiilor



Se consideră şirul [image]

  1. să se arate că [image]

  2. să se demonstreze că [image][image]

  3. să se arate că [image]



Fie numărul complex [image] şi mulţimea [image].Determinaţi card(A).



Dacă [image], atunci calculaţi [image]



Demonstraţi egalitatea: [image]



Scrieţi vectorii de poziţie ai numerelor complexe:

  1. z= 3-5i

  2. z= 2i

  3. z= [image]

  4. z= [image]

  5. z=[image]



Fie punctele A(3,-2), B(1,4). Determinaţi punctul C în planul complex astfel încât O,A,B,C să fie vârfurile unui paralelogram.



Fie A(1+3i), B(3-i). Arătaţi că triunghiul OAB este dreptunghic isoscel.



Să se arate că imaginile geometrice ale numerelor complexe [image], [image]sunt coliniare.



Punctele A, B, C, D având afixele 1+4i, 2i, 3-2i şi respectiv 4 sunt vârfurile unui paralelogram.



Dacă punctele A, B, C, D au afixele -4-2i, 2, 1+3i şi respectiv -5+i, atunci ABCD este un dreptunghi



Să se arate că punctele A(1+2i), B(-5-i), C(7+5i) sunt coliniare, iar dreptele A(6i) B(-4), C(2+6i) D(3i) sunt paralele.



Fie z = cost + isint, iar n ∊ N*, atunci:

  1. Să se demonstreze formulele: [image] şi [image]

  2. Să se calculeze [image]