Determinaţi numărul natural x astfel încât:

[image]



Se consideră 6561 numere naturale nenule a căror sumă este 372. Aceste numere se aşează în jurul unui cerc. Arătaţi că, indiferent de modul de aranjare a acestor numere, vor exista două numere alăturate a căror sumă să fie mai mare sau egală decât 364.



Demonstraţi că [image], pentru orice numere naturale m şi n.



Să se arate că mulţimea A=[image] conţine un singur număr natural.



Aflaţi numerele naturale a şi b astfel încât A=[image] să fie număr natural.



Sa se gaseasca restul impartirii numarului [image] la 43.



Determinaţi cifrele x şi y din relaţia: [image]



Determinaţi cifrele x şi y din relaţia: [image]



Dacă n ∈ N*, atunci s(n) este suma cifrelor numărului n. Să se găsească cea mai mică valoare a numărului [image]dacă:

  1. 10 £ n £ 30;

  2. 1006 £ n £ 2006



Fie A = 1 + 2 + … + n . Să se determine valoarea numărului natural nenul n astfel încât A să fie un număr de trei cifre, toate egale. 



Să se afle numărul natural n pentru care 23n + 2 şi 32n + 1 sunt simultan divizibile cu10.



Demonstraţi că dacă n∈N*, n ≠ 1 şi x1, x2,..., xn ∈N* astfel încât [image] = [image] = =[image] = [image], atunci x1+ ...+ xn se divide la [image]



Se consideră numerele k, n ∈ N. Fie

A = ([image] + [image] ) ( [image][image]) · …· ( [image] + [image] ) ( [image][image] ),

B = ([image][image] ) ( [image] +[image]) · …· ( [image][image] ) ( [image] + [image] )

Să se demonstreze că 0< A < 1 şi că B > 1.



Se consideră un număr natural cu toate cifrele diferite între ele şi care are prima cifră 1. Se ia această primă cifră şi se mută la sfârşitul numărului considerat. Astfel, se obţine un număr natural de trei ori mai mare decât primul. Care este numărul natural iniţial?



Aflaţi valoarea numărului natural nenul n pentru care:[image]

unde n! = 1 × 2 × … × n, n∈N*.



Să se determine cel mai mare divizor comun al numerelor a = [image] şi b = 11111111, unde k este număr natural impar. Aceeaşi cerinţă pentru numerele a = [image] şi b = [image], m, n ÎN* Numerele a şi b sunt scrise în baza 10.



Să se determine n∈N pentru care [image] este număr natural prim.



Se scriu numerele naturale în ordine crescatoare, începând cu 1. Aflați cifra de pe locul 2006.



Mai multi copii joaca telefonul fara fir. Primul copil se gândeste la un numar natural, îl

dubleaza si îl sopteste urmatorului; acesta îl dubleaza si transmite rezultatul urmatorului copil. Jocul continua pâna când ultimului copil i se sopteste numarul 940. Câti copii s-au jucat si la ce numar s-a gândit primul copil?



În fiecare clasa a unei scoli sunt cel putin 25 de elevi si cel mult 30 elevi. Stiind ca numarul elevilor scolii poate fi oricare de la 480 la 560, sa se afle numarul claselor.



Arătați că nu există numere naturale a, b, c care verifică simultan egalitațile: b + c = a + 1 si b2 + c2 = a2;



Suma cifrelor unui numǎr natural de 10 cifre este 9. Cât este produsul cifrelor acestui numǎr ?



Dintr-un numǎr natural de patru cifre ştergem ultima cifrǎ, iar numǎrul obţinut îl scǎdem din cel iniţial, obţinând 2006.Care este numǎrul ?



Aflaţi numărul [image], ştiind că [image].



Determinaţi numerele naturale n, de patru cifre, astfel încât [image].



Determinaţi numerele naturale a, b, c astfel încât să aibă loc relaţia:[image].



Aflaţi toate numerele naturale n de două cifre cu proprietatea că [image]∈ N



Aflaţi numerele naturale nenule a, b, c astfel că [image].



Să se determine numerele naturale prime a, b, c, ştiind că a + b + c= 2000 şi b –c =44



Aflaţi numerele [image] cu [image] astfel încât [image]



Fie [image]·[image], n∈N.

  1. Arătaţi că x ∈ N

  2. Determinaţi n ∈ N ştiind că x are 15 divizori naturali.



Să se arate că există cel puțin 16 numere naturale cuprinse ȋntre 39 şi 101 care ȋmparțite la 4 să dea acelaşi rest.



Fie n∈N*. Să se arate că nu există m∈N astfel ȋncât să avem: m2-2=1+3+32+…+3n



Arătaţi că: [image] este număr natural.



Să se afle numerele naturale care îndeplinesc simultan condiţiile:

  1. sunt formate din cifre impare distincte;

  2. sunt divizibile cu 5;

  3. suma pătratele cifrelor este un număr par;

  4. suma cifrelor este un pătrat perfect.



Pentru m, n∈N aflați valoarea maximă a expresiei: E(m,n)=[image].



Numerele naturale a, b, c îndeplinesc simultan condiţiile: a+b+c=72 şi a+3b-2c=50

  1. Să se arate că 3a+5b=194

  2. Să se determine numerele a, b, c ştiind că b are cea mai mică valoare posibilă.



Un număr natural se numeşte „bipătrat” dacă suma şi produsul cifrelor sale sunt pătrate perfecte nenule.

  1. Determinaţi toate bipătratele de două cifre.

  2. Suma tuturor bipătratelor de trei cifre se împarte exact la 37? Justificaţi



Arătaţi că :

  1. [image]∈ N

  2. [image]∈N



Să considerăm mulţimea numerelor naturale de forma 24m · 33n ·42p,

unde m, n, p ∈{0, 1, 2}.

  1. Câte elemente are această mulţime şi care sunt ele?

  2. Calculaţi produsul elementelor impare.



Determinaţi numerele naturale x şi y astfel încât 1· 2 · 3· . . . · x + 57 = y



Suma a cinci numere naturale distincte este 2008 . Să se determine numerele (ordonate crescător) ştiind că produsul a trei dintre ele este 105, iar unul din celelalte două reprezintă 99,3% din celălalt.



Fie A, B numere naturale impare cu A > B.

  1. Arătaţi că A2 - B2 = (A - B) (A + B) şi [image] este număr natural.

  2. Determinaţi A şi B ştiind că [image] este număr prim.



Să se determine numărul natural n care verifică relaţia: ([image]+1)([image]+1)([image]+ 1) = n



Să se afle cel mai mic şi cel mai mare număr natural de cinci cifre distincte care au produsul cifrelor 0.



Să se afle cifra a ştiind că numărul [image] [image] [image] este natural.



Să se arate că numerele [image] şi [image]dau acelaşi rest prin împărţire la 31.



Să se arate că numărul [image] nu este natural .



Determinaţi ultimele 6 cifre ale produsului 1·2·3·…·27.



Arătaţi că numărul 162008:28002 este atât un cub cât şi un pătrat perfect.



Să se determine cel mai mic număr natural care are suma cifrelor 2001.



Să se determine cel mai mare număr de 7 cifre nenule avand suma cifrelor 53.



Pe o tablă sunt scrise numerele naturale de la 1 la 1000. Elevii A si B şterg pe

rând, începând cu A, câte un număr. Pierde elevul care este obligat sa steargă primul un multiplu al lui 2 sau un multiplu al lui 5. Care elev câstigă , A sau B? Justificaţi răspunsul.



Arătaţi că [image]N, oricare ar fi n ∈ N. 



Se consideră numărul x=172773777477775…2009. Aflaţi numărul cifrelor numărului x. 



Aflaţi toate perechile de numere naturale (x;y) care verifică ecuaţia: [image] , n ∈ N



Determinaţi toate numerele naturale nenule a astfel încât: [image]



Să se scrie numărul 62009-3 ca suma de şase numere naturale consecutive. 



Determinaţi numărul natural n ştiind că este îndeplinită condiţia: card A=12500, unde A= [image]