Avem următoarea reprezentare pe axă :

[image]

  1. Care este lungimea segmentului AB?

  2. Care este cel mai mare numar ∈ntreg mai mic decât opusul lui a ?



Enumerati numerele iraţionale din mulţimea A={-[image]; [image]; 2008[image]; [image]; -4; 3,(7); 8[image]}.



Fie mulţimea de numere reale:

A = {π; (-2)2; [image]}

  1. Să se calculeze :A∩N; A∩Z; A∩Q; A∩(R\Q); A∩R; A∩(Q\Z).

  2. Stabiliţi valoarea de adevăr a propoziţiilor: A[image]R; A[image](R\Q); A[image]R.



Fie mulţimea:

A=[image];Calculaţi:(A∩N); (A∩Z); (A∩Q); (A∩(R\Q));



Determinaţi elementele mulţimilor:

[image] [image]



Comparând numerele [image] cu [image] unde [image] şi [image] obţinem:
A. [image] B. [image] C. [image] D. [image]



Fie a=[image] şi b=[image] . Comparaţi media aritmetică, media geometrică şi media armonică a numerelor a şi b



Sǎ se afle media aritmeticǎ şi media geometricǎ a numerelor: a=2+[image] şi b=2-[image].



Sǎ se compare numerele:

[image]

si sǎ se calculeze media aritmetica, media geometrica si media armonica a lor.



Fie numarul[image]. Stabiliţi valoarea de adevǎr a urmatoarelor propoziţii: x∈R; x∈Q; x∈R\Q; x∈Z; x∈N



Fie x=[image] si y=[image]. Calculaţi inversul numarului xy.



Fie x=[image] si y=[image]. Atunci calculaţi: x-1+y-1 şi x-2+y-2



Determinaţi numǎrul natural care are pǎtratul egal cu 216+29 +1.



Scrieti 216- 210+29+1 ca produs de doua numere naturale patrate perfecte.



Sǎ se determine m ∈ R, stiind cǎ: [image]



Calculaţi: [image]



Fie [image]N*.

  1. Arǎtaţi ca xn >2, oricare ar fi n.

  2. Calculaţi x1, x2, x3, x4.



Calculaţi media geometrică a numerelor [image]şi [image]



Calculaţi media aritmeticǎ a numerelor x şi y de mai jos:

x = [image];

y = [image];



Calculaţi [image].



Efectuaţi: [image]



Calculaţi: [image]



Fie a ∈ R*. Efectuaţi (-a; a)∩[-a2;a2].



Să se calculeze A = 1,2 ∙10 + 0,88 ∙ 100 şi să se determine x dacă x2 = A



Arătaţi că numărul: a=[image] este număr natural. Aflaţi opusul şi inversul numărului a.



Fie A[image]=4+[image]. Arătaţi că A[image]N. 



Fie numerele a = |-10 + 5| şi b = |-10|+|5| Comparaţi numerele [image] şi [image].



Determinaţi a şi b astfel ȋncat [image]



Se dau numerele

x = ([image] - [image] ) şi y = 2[image]·([image]-[image]) + ([image] - [image])2. Calculaţi media geometrică a numerelor [image]x şi 2y.



Să se determine numerele a ∊ R, a≠5 pentru care este adevărată egalitatea:

[image]



Se dau numerele x = [image] şi y = [image].

  1. Calculaţi produsul x · y

  2. Calculaţi (xy)2.

  3. Arătaţi că [image] este număr ∈ntreg negativ.



Să se arate că:

  1. [image];

  2. [image]



Dacă [image], atunci: [image]



Să se calculeze valoarea lui E[image], unde [image]



Determinaţi numerele naturale n ∈n fiecare din cazurile:

  1. [image]

  2. [image].



Dacă a, b, c sunt numere reale nenule, a + b + c ¹ 0 şi [image], atunci calculaţi valoarea expresiei E=[image]



Fie x, y, z ∈ R pentru care x2 + y2 + z2 = 2(2x – 3y + 4z) – 28. Să se arate că 0≤x+y+z≤6.



Fie x, y numere reale astfel incat 1 < x < 2 şi 2 < y < 3.Aratati ca 2xy – 5x – 3y +7 < 0.



Arătaţi că [image]



Fie n = [image] unde x, y, z sunt cifre consecutive, x < y < z. Să se determine x, y, z astfel incât numărul n să fie natural.



Dacă x – 3y + 1 = 0 şi x ∊ [-1; 2] arătaţi că:

[image]



Fie numerele reale [image]. Dacă [image] şi [image] calculaţi valoarea lui [image], [image] şi [image]



Demonstraţi că dacă numerele ∈ntregi x, y, t verifică relaţia xy + z(x –y) = z2 + 5, atunci |x + y| = 6



Fie numerele reale a şi b cu proprietăţile a – 6b = - 2 şi a ∊ [ -2; 4 ].



Să se determine numărul c = [image] .



Dacă a1, a2, a3, ... , a2003 sunt numere reale strict pozitive astfel ∈ncât : a1 + a2 + a3 + ... + a2003 = 1, să se arate că:

  1. [image]

  2. [image].



Să se determine numerele a, b ∊ R / {0} ştiind că [image] + [image]+ [image] = 3[image] şi că a2 + b2 = 1.



Se dau trei numere strict pozitive x1, x2, x3 care satisfac conditiile:

[image] si [image].

Să se demonstreze că :

  1. nici unul din numere nu este egal cu 1 ;

  2. exact unul dintre acestea este mai mic decat 1.



Dacă x, yR şi x2 + y2 = 2(x - 2y +2) demonstrati ca xy+2x-y[-7,11].

Fie m =[image]

  1. Arătaţi că m2 = 4;

  2. Calculaţi m;

  3. Demonstraţi egalitatea: (m[image])2006 = 201003 ;

  4. Rezolvaţi ecuaţia: [image][image]



Calculați:

  1. [image]

  2. [image]



Dacă a şi b sunt numere reale asfel ∈ncât [image] arătaţi că [image]



Dacă [image]diferite si [image], calculaţi: [image], iar pentru: [image]



Să se arate că dacă x şi y sunt numere reale, ce satisfac simultan condiţiile:

x∊ [–2, 3] şi x – 5y + 2 = 0, atunci [image]=constant.



Fie a, b, c, d ∊ (0; ∞) astfel ∈ncât ac = bd = 12 Demonstraţi că: (a+3)(b+3)(c+4)(d+4)≥482



Fie [image] .

  1. Arătaţi că x>0 ;

  2. Calculaţi x² ;

  3. Determinaţi [x] şi {x}.



Fie numărul real a astfel incât a ∊ [1; 5].

  1. Arătaţi că a²–6a+5[image]0 ;

  2. Determinaţi partea ∈ntreagă a numărului [image].



Calculaţi media aritmetică a numerelor a şi b unde [image] şi [image]



Calculaţi media geometrică a numerelor a şi b, unde

a = ( 2[image]+ [image]) ·2[image] [image] ( [image] 1)2 şi b = 4 2[image]



Determinaţi numerele raţionale x şi y astfel incât

[image] = [image]



Fie [image] şi [image]. Arătaţi că a = b



Verificaţi că [image];



Considerăm numerele reale a şi b care ∈ndeplinesc condiţia:

a2 + b2 – 6√2a – 4√3b + 40 [image]10



Se consideră numerele reale x şi y astfel ∈ncât 0<x<2y şi 16x2 – 64xy + 60y2 = x2 + 4xy, să se calculeze : [image]



Pentru a, b ∊ N arătaţi că (√a─√b)2 = a + b ─ 2[image].



Ordonaţi crescător soluţiile reale ale ecuaţiei ││x -[image]│─ [image]│=[image]



Numerele naturale nenule a şi b şi numărul real x verifică relaţia x=[image]

  1. Arătaţi că [image]

  2. Demonstraţi că x este număr iraţional.



Fie numărul [image].determinaţi cifrele x ≠ y pentru care a este număr natural nenul.



Fie x, y numere reale astfel incat 1<x<2 şi 2<y<3. Aratati că 2xy – 5x – 3y +7 < 0.



Să se arate că nu există nici un număr rational x cu proprietatea ca:

x2005 - 3x – 1 =0.



Se dă [image] Să se calculeze [image]



Determinaţi două numere ∈ntregi x şi y cuprinse ∈ntre 10 şi 100, unde y este numărul obţinut prin inversarea cifrelor lui x şi x2y2 = 495.



Numerele reale pozitive a si b verifică relaţia a + b + ab = 3.

  1. Verificati că, dacă a = 2, atunci a + b > 2 > √a + √b.

  2. Demonstraţi ca a + b ≥ √a + √b, pentru orice a, b.



Daca a=2006∙2007 aratati ca [image]



Să se determine numerele rationale a şi b pentru care are loc egalitatea :

[image]