Arataţi că: 101+2∙(1+2+3+...+100) este pătrat perfect.



Fie numărul A=(2+22+23+......+22000)+(7+72+73+.....+72000)+(9+92+93+........+92000). Verificaţi dacă acest numar este pătrat perfect.




Arataţi că numărul 299 -1522 +955 nu este pătrat perfect.



Să se arate că numărul A = 2(1+2+3+........+2006+2007)+2008 este pătrat perfect.



Arătaţi că suma primelor n numere naturale pare S = 2+4+6+....+2n, n∊ N* nu este pătrat perfect.



Arătaţi că suma primelor n numere naturale impare S = 1+3+5+....+2n-1, n∊ N* este pătrat perfect.



Fie numerele naturale a şi b cu proprietăţile: a-9=8∙(9+92+...+9100) şi b-12=4∙(5+52+...+5100). Arătaţi că a este pătrat perfect, iar b nu este pătrat perfect.



Să se arate că oricare ar fi n număr natural, numărul N=9n+4n+2 nu este pătrat perfect.



Se consideră numerele:

a=(2∙24∙295+34-22100 : 41000 +19)∙(399+2∙399+20090) : (3100+1)

b=(2009+2∙2009+3∙2009+...+2008∙2009) : 1004

c=4n + 22n+3 + 22n+4 n∊N.

Arătaţi că numerele a, b, c sunt pătrate perfecte.



Stabiliţi dacă următoarele numere sunt pătrate perfecte:

A=2008 + 2∙(1+2+3+...+2007);

B=(1+2+3+...+2008)∙20092011 ∙ 4016;

C=2x+3 unde x=3+32+33+...+32007;

D=22n+1 ∙ 52n+3 – 3 unde n ∈ N;



Să se arate că următoarele numere nu sunt pătrate perfecte:

A=6735 + 9243;

B= 534 + 517;

C=2n ∙ 3n+1 + 2n+1 ∙ 3n unde n ∈ N



Se consideră numărul n=12 ∙ 34 ∙ 56 ∙ .... ∙ 20072008 . Arătaţi că N este pătrat perfect.



Impărţind numărul natural m la numărul natural n obţinem câtul 5 şi restul 33.

a) Arătaţi că 4 ∙ m – 20 ∙ n -68 este cub perfect;

b) Aflaţi numerele m şi n ştiind că 2 ∙ m + n ≤ 440.



Care este cel mai mic număr natural a pentru care x=a∙1 + a∙2 +a∙3 +...+a∙15 este cub perfect?



Să se afle cel mai mic număr natural de două cifre cu proprietatea că suma dintre pătratul său şi cubul său este pătrat perfect.



Scrieţi numărul natural 652005 ca sumă de două pătrate perfecte sau ca sumă de două cuburi perfecte.



Să se arate că numărul a = 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + …+ 2002 × 2003 nu este pătrat perfect.



Fie numerele naturale x şi y astfel încât x – 16 = 15×(16 + 162 + 163 + …. + 16n-1), n ³ 2, n ∈ N, y – 13 = 2p×(5 + 52 + 53 + …. + 5p), p ³ 1, p ∈ N. Stabiliţi care din aceste numere este pătrat perfect.



Arătaţi că numărul [image], nu este pătrat perfect.



Demonstraţi că numărul a = 2n + 3n nu poate fi pătrat perfect, oricare ar fi număr natural par.



Se dau numerele: A = 6(10n -1), n∈N şi B = 4(102005 – 1).

  1. Aflaţi valorile lui n pentru care numărul A este pătrat perfect

  2. Arătaţi că produsul cifrelor numărului B nu poate fi pătrat perfect.



Sa se arate ca numarul B = 21549 + 31549 + 7 nu este patrat perfect.



Determinaţi valoarea minimă a numărului xN* pentru care numărul a = 48x este pătrat perfect.



Arătaţi că numărul [image] este pătrat perfect.



Pentru o pereche (a; b) ∈ RxR, a≠o, spunem că are proprietatea „P” dacă: „oricare ar fi n ∈ N, a×n2+b este număr natural pătrat perfect”.

  1. Arătaţi că există o infinitate de perechi (a; b) cu proprietatea „P”;

  2. Determinati toate perechile (a,b) ∈ RxR, a≠o, care au proprietatea ,,P’’



Arătaţi că numărul:

  1. 20032003 + 20042004 nu este pătrat perfect.

  2. 2004 + ( 2 + 4 + 6 +... + 4006) este un pătrat perfect .



Câte numere de cinci cifre, cu cifrele distincte două câte două, formate cu cifrele 0, 1, 4, 6, 9, sunt pătrate perfecte?



Numărul a are 2n cifre, toate egale cu 9, iar numărul b are n cifre, toate egale cu 3. Arătaţi că a+6b+4 este pătrat perfect.



Fie numărul N = 7 + 7 2 + 7 3 + 7 4 + …+ 7 2005. Arătaţi că numărul N nu poate fi pătrat perfect.



Fie numărul:[image]

  1. Arătaţi că numărul N este pătrat perfect, unde a şi b sunt cifre în sistemul zecimal.

  2. Determinaţi cea mai mică şi cea mai mare valoare a numărului N.

  3. Aflaţi valorile lui N care se divid cu 24.



Arătaţi că nu există pătrate perfecte de forma 6k + 2 , oricare ar fi k, număr natural.



Arătaţi că numărul N = [image] + [image] + [image] nu poate fi pătrat perfect, oricare ar fi cifrele x, y, z ∈ { 1,2,...,9 }.



Arătaţi că numărul natural [image] nu poate fi pătrat perfect.



Determinaţi numărul natural nenul de trei cifre [image], scris în baza 10, ştiind că este pătrat perfect şi că [image].



Să se arate că orice număr natural pătrat perfect este de forma 4n sau 4m + 1; n, mN.



Să se arate că pentru orice n ∈ N, numărul x = n (n+1)( n+2)(n+3) +2007 nu este pătrat perfect.



Arătaţi că numărul [image] este pătrat perfect.



Să se arate că numărul 1³+2³+3³+4³ este pătrat perfect.



Să se arate că numărul a=23n+7–23n+5+23n+2 se poate scrie ca sumă de patru cuburi perfecte.



Fie n=1·2·3·4·...·64+858

  1. Stabiliţi valoarea de adevăr a propoziţiei:”n este pătrat perfect”;

  2. Aflaţi restul împărţirii lui n la 70.



Determinați n ∈ N*, astfel ȋncât numărul[image]să fie pătrat perfect.



Găsiţi toate numerele de forma [image] pentru care numărul n = [image] +37( a+b ) este pătrat perfect.



Fie A = 20082009 +20092009 +20062008 şi B = 2010∙2009 – 2009∙2008 – 2∙2008 + 2∙2007 – 2∙2006. Stabiliţi dacă numerele A şi B sunt pătrate perfecte. 



Să se arate că suma numerelor naturale care dau câtul 2009 la împărţirea cu 2009 nu este pătrat perfect.



Arătaţi că soluţia ecuaţiei [image]reprezintă un pătrat perfect. 



Aflati patratele perfecte de forma : aabb.



Demonstraţi că numărul a = 2n + 3n nu poate fi pătrat perfect, oricare ar fi n număr natural par.



Se dau numerele: A = 6(10n -1), n ∈ N şi B = 4(102005 – 1).

  1. Aflaţi valorile lui n pentru care numărul A este pătrat perfect

  2. Arătaţi că produsul cifrelor numărului B nu poate fi pătrat perfect.



Aratati ca numarul 34+ 122 este patrat perfect.



Se considera numerele: A = 52005 –(4×52003+4×52002+4×52001+…+4×52+4×5+5) si



B = 24676+24675+24674+…+23+22+2.

  1. Demonstrati ca numarul A este patrat perfect.

  2. Comparati numerele A si 2B



Arătaţi că diferenţa dintre un număr natural de 3 cifre diferite şi răsturnatul său, nu poate fi pătrat perfect.