Arataţi că: 101+2∙(1+2+3+...+100) este pătrat perfect.



Fie numărul A=(2+22+23+......+22000)+(7+72+73+.....+72000)+(9+92+93+........+92000). Verificaţi dacă acest numar este pătrat perfect.




Arataţi că numărul 299 -1522 +955 nu este pătrat perfect.



Să se arate că numărul A = 2(1+2+3+........+2006+2007)+2008 este pătrat perfect.



Arătaţi că suma primelor n numere naturale pare S = 2+4+6+....+2n, n∊ N* nu este pătrat perfect.



Arătaţi că suma primelor n numere naturale impare S = 1+3+5+....+2n-1, n∊ N* este pătrat perfect.



Fie numerele naturale a şi b cu proprietăţile: a-9=8∙(9+92+...+9100) şi b-12=4∙(5+52+...+5100). Arătaţi că a este pătrat perfect, iar b nu este pătrat perfect.



Să se arate că oricare ar fi n număr natural, numărul N=9n+4n+2 nu este pătrat perfect.



Se consideră numerele:

a=(2∙24∙295+34-22100 : 41000 +19)∙(399+2∙399+20090) : (3100+1)

b=(2009+2∙2009+3∙2009+...+2008∙2009) : 1004

c=4n + 22n+3 + 22n+4 n∊N.

Arătaţi că numerele a, b, c sunt pătrate perfecte.



Stabiliţi dacă următoarele numere sunt pătrate perfecte:

A=2008 + 2∙(1+2+3+...+2007);

B=(1+2+3+...+2008)∙20092011 ∙ 4016;

C=2x+3 unde x=3+32+33+...+32007;

D=22n+1 ∙ 52n+3 – 3 unde n ∈ N;



Să se arate că următoarele numere nu sunt pătrate perfecte:

A=6735 + 9243;

B= 534 + 517;

C=2n ∙ 3n+1 + 2n+1 ∙ 3n unde n ∈ N



Se consideră numărul n=12 ∙ 34 ∙ 56 ∙ .... ∙ 20072008 . Arătaţi că N este pătrat perfect.



Impărţind numărul natural m la numărul natural n obţinem câtul 5 şi restul 33.

a) Arătaţi că 4 ∙ m – 20 ∙ n -68 este cub perfect;

b) Aflaţi numerele m şi n ştiind că 2 ∙ m + n ≤ 440.



Care este cel mai mic număr natural a pentru care x=a∙1 + a∙2 +a∙3 +...+a∙15 este cub perfect?



Să se afle cel mai mic număr natural de două cifre cu proprietatea că suma dintre pătratul său şi cubul său este pătrat perfect.



Scrieţi numărul natural 652005 ca sumă de două pătrate perfecte sau ca sumă de două cuburi perfecte.



Să se arate că numărul a = 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + …+ 2002 × 2003 nu este pătrat perfect.



Fie numerele naturale x şi y astfel încât x – 16 = 15×(16 + 162 + 163 + …. + 16n-1), n ³ 2, n ∈ N, y – 13 = 2p×(5 + 52 + 53 + …. + 5p), p ³ 1, p ∈ N. Stabiliţi care din aceste numere este pătrat perfect.



Arătaţi că numărul [image], nu este pătrat perfect.



Demonstraţi că numărul a = 2n + 3n nu poate fi pătrat perfect, oricare ar fi număr natural par.



Se dau numerele: A = 6(10n -1), n∈N şi B = 4(102005 – 1).

  1. Aflaţi valorile lui n pentru care numărul A este pătrat perfect

  2. Arătaţi că produsul cifrelor numărului B nu poate fi pătrat perfect.



Sa se arate ca numarul B = 21549 + 31549 + 7 nu este patrat perfect.



Determinaţi valoarea minimă a numărului xN* pentru care numărul a = 48x este pătrat perfect.