Arătaţi că numărul [image] este pătrat perfect.



Pentru o pereche (a; b) ∈ RxR, a≠o, spunem că are proprietatea „P” dacă: „oricare ar fi n ∈ N, a×n2+b este număr natural pătrat perfect”.

  1. Arătaţi că există o infinitate de perechi (a; b) cu proprietatea „P”;

  2. Determinati toate perechile (a,b) ∈ RxR, a≠o, care au proprietatea ,,P’’



Arătaţi că numărul:

  1. 20032003 + 20042004 nu este pătrat perfect.

  2. 2004 + ( 2 + 4 + 6 +... + 4006) este un pătrat perfect .



Câte numere de cinci cifre, cu cifrele distincte două câte două, formate cu cifrele 0, 1, 4, 6, 9, sunt pătrate perfecte?



Numărul a are 2n cifre, toate egale cu 9, iar numărul b are n cifre, toate egale cu 3. Arătaţi că a+6b+4 este pătrat perfect.



Fie numărul N = 7 + 7 2 + 7 3 + 7 4 + …+ 7 2005. Arătaţi că numărul N nu poate fi pătrat perfect.



Fie numărul:[image]

  1. Arătaţi că numărul N este pătrat perfect, unde a şi b sunt cifre în sistemul zecimal.

  2. Determinaţi cea mai mică şi cea mai mare valoare a numărului N.

  3. Aflaţi valorile lui N care se divid cu 24.



Arătaţi că nu există pătrate perfecte de forma 6k + 2 , oricare ar fi k, număr natural.



Arătaţi că numărul N = [image] + [image] + [image] nu poate fi pătrat perfect, oricare ar fi cifrele x, y, z ∈ { 1,2,...,9 }.



Arătaţi că numărul natural [image] nu poate fi pătrat perfect.



Determinaţi numărul natural nenul de trei cifre [image], scris în baza 10, ştiind că este pătrat perfect şi că [image].



Să se arate că orice număr natural pătrat perfect este de forma 4n sau 4m + 1; n, mN.



Să se arate că pentru orice n ∈ N, numărul x = n (n+1)( n+2)(n+3) +2007 nu este pătrat perfect.



Arătaţi că numărul [image] este pătrat perfect.



Să se arate că numărul 1³+2³+3³+4³ este pătrat perfect.



Să se arate că numărul a=23n+7–23n+5+23n+2 se poate scrie ca sumă de patru cuburi perfecte.



Fie n=1·2·3·4·...·64+858

  1. Stabiliţi valoarea de adevăr a propoziţiei:”n este pătrat perfect”;

  2. Aflaţi restul împărţirii lui n la 70.



Determinați n ∈ N*, astfel ȋncât numărul[image]să fie pătrat perfect.



Găsiţi toate numerele de forma [image] pentru care numărul n = [image] +37( a+b ) este pătrat perfect.



Fie A = 20082009 +20092009 +20062008 şi B = 2010∙2009 – 2009∙2008 – 2∙2008 + 2∙2007 – 2∙2006. Stabiliţi dacă numerele A şi B sunt pătrate perfecte. 



Să se arate că suma numerelor naturale care dau câtul 2009 la împărţirea cu 2009 nu este pătrat perfect.



Arătaţi că soluţia ecuaţiei [image]reprezintă un pătrat perfect. 



Aflati patratele perfecte de forma : aabb.



Demonstraţi că numărul a = 2n + 3n nu poate fi pătrat perfect, oricare ar fi n număr natural par.



Se dau numerele: A = 6(10n -1), n ∈ N şi B = 4(102005 – 1).

  1. Aflaţi valorile lui n pentru care numărul A este pătrat perfect

  2. Arătaţi că produsul cifrelor numărului B nu poate fi pătrat perfect.



Aratati ca numarul 34+ 122 este patrat perfect.



Se considera numerele: A = 52005 –(4×52003+4×52002+4×52001+…+4×52+4×5+5) si



B = 24676+24675+24674+…+23+22+2.

  1. Demonstrati ca numarul A este patrat perfect.

  2. Comparati numerele A si 2B



Arătaţi că diferenţa dintre un număr natural de 3 cifre diferite şi răsturnatul său, nu poate fi pătrat perfect.