1 + 2 + 3 + … + n = [image]

2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1)

1 + 3 + 5 + … + 2n – 1 = n2

k + 2k + 3k + … + nk = k(1 + 2 + 3 + … + n) = [image]

k + 1 + k + 2 + … + k + n = [image]

r + (k + r) + (2k + r) + (3k + r) + … + (nk + r) = [image]



Calculaţi sumele:

  1. 1 + 2 + 3 + … + 100

  2. 1 + 2 + 3 + … + 123

  3. 2 + 4 + 6 + … + 2200

  4. 2 + 4 + 6 + … + 246880

  5. 1 + 3 + 5 + … + 121

  6. 1 + 3 + 5 + … + 445

  7. 3 + 6 + 9 + … + 120

  8. 7 + 14 + 21 + … + 777

  9. 6 + 12 + 18 + … + 6120

  10. 5 + 6 + 7 + … + 2006

  11. 101 + 102 + …. + 1234

  12. 2 + 7 + 12 + 17 + … + 1997

  13. 201 + 209 + 217 + … + 1881



Calculaţi sumele:

  1. 1 + x + x2 + x3 + …+ xn

  2. 12 + 22 + 32 + …+n2

  3. 12 + 32 + 52 + …+(2n-1)2

  4. 22 + 42 + 62 +…+20082



Calculati sumele:

  1. [image]

  2. [image]

  3. [image]

  4. [image]

  5. [image]



Calculaţi suma: 9+99+999+…+99..99, unde ultimul termen are 2008 cifre.



Calculaţi suma:

[image] unde n∈N*, ştiind că numerele 2n şi 2n+2 sunt direct proporţionale cu numerele 0,048 şi 0,(048).



Fie [image] , n Î N*. Care este valoarea numărului natural n pentru care S = 5/6 .



Aflaţi valoarea numărului [image]



Calculaţi [image]



Arătaţi că [image]



Pentru n număr natural nenul, fie [image].

  1. Calculaţi [image]

  2. Aflaţi valoarea de adevăr a propoziţiei : „Există n∈N* astfel ∈Ncât [image]∈N”.

Justificaţi răspunsul dat.



Calculaţi x = a + b şi y = cd, unde:

[image]

[image]

[image]

[image]



Fie [image] şi [image] Determinaţi media aritmetică a celor două numere.



Se consideră numerele: A = [image] şi B = [image], n∈N. Arătaţi că A + B – 2n este natural .



Se dă expresia E(n)=(-1)n+1×3n +(-1)n×2n +(-1)n×n+n. Să se arate că suma S=E(1)+E(2)+...+E(2004) – 1 este divizibilă cu 91.



Demonstraţi că [image] cu k∈N*



Calculaţi S = [image] .



Demonstraţi că : [image]



Demonstraţi că pentru n ∈N* , numărul a = 19 + 192 + 193 + ….+ 196n este divizibil cu 7620 .



Arătaţi că : [image]Să se calculeze:[image];



Fie S =[image].

  1. Demonstraţi că [image] < S < [image];



Calculaţi: [image][image].



Aflaţi ultima cifră a sumei S= 1+22+33+44+…+1010.



Arătaţi că: [image].



Fie numărul a = 8 + 98 + 998 + 9998 + ...+ [image] Câte cifre de 1 sunt folosite in scrierea numărului a ?



Se consideră sumele [image] şi [image]. Arătaţi că [image]se divide cu 10.



Fie numerele: A=2+4+6+…+4016 şi [image] Calculaţi: [image]



Calculaţi: S =[image].



Verificaţi că: [image].



Arătaţi că : [image], pentru orice k≥2.



Arătaţi că [image]



Arătaţi că [image].



Se consideră suma S = 1 + 8 + 8[image]+ 8[image]+ ... + 8[image].

  1. Calculaţi suma 1 + 8 + 8[image] şi arătaţi că 73 | S.

  2. Arătaţi că 657 | S.



Fie [image] si [image] Sa se arate ca 5|(A+B)



Determinați numarul n ∈N* din egalitatea [image]