$ \displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} f(i) }= f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n) $

Calculaţi suma:

Soluţie:

Folosind proprietăţile de asociativitate şi comutativitate a operaţiei de adunare, putem scrie suma In două feluri:

.

Adunând membru cu membru, obţinem:

.

In fiecare paranteză din partea dreaptă ne dă acelaşi rezultat: 2014.

Fiindcă avem 2013 parantaze avem că:

Calculaţi suma:;

Soluţie:

Calculaţi suma:= 1+3+5+;

Soluţie:

Calculaţi suma:= 2+4+6+;

Solutie:

+

Calculaţi suma:;

Soluţie:

.

.

Calculaţi suma:;

Soluţie:

.

Pornind de la egalitatea  , unde n şi k sunt numere naturale nenule, să se calculeze următoarele sume:

a.   

b.   

c.   

d.     .

Făcând  in egalitatea de mai sus obţinem .

Dând valori lui n de la 1 până la 2012, obţinem:

;

;

;

.

Adunând membru cu membru egalităţile de mai Inainte, şi, ţinând cont de faptul că suma dintre un număr raţional şi opusul său este egal cu zero, vom obţine:

+

.

Făcând  in egalitatea de mai sus obţinem .

Dând valori lui n pe 1, 3, 5, ..., 2009, 2011, obţinem:

;

.

Adunând membru cu membru egalităţile de mai Inainte, şi,  ţinând cont de faptul că suma dintre un număr raţional şi opusul său este egal cu zero, vom obţine:

Făcând  in egalitatea de mai sus obţinem .

Dând valori lui n pe 1, 5, 9, ..., 2009, 2012, obţinem:

;

.

Adunând membru cu membru egalităţile de mai Inainte, şi,  ţinând cont de faptul că suma dintre un număr raţional şi opusul său este egal cu zero, vom obţine:

.

Făcând k = 4 in egalitatea de mai sus obţinem  .

Dând valori lui n pe 1, 4, 7, ..., 2011, 2015, obţinem:

.

Adunând membru cu membru egalităţile de mai Inainte, şi,  ţinând cont de faptul că suma dintre un număr raţional şi opusul său este egal cu zero, vom obţine:

.

Calculaţi suma:

Soluţie:

 ...

Atunci suma Q poate fi scrisă sub forma:

).

Calculaţi suma:$ \displaystyle{ \sum_{i=0}^{3} (5 +\sqrt{ 4^i }) } $

Soluţie:

$ \displaystyle{ \sum_{i=0}^{3} (5 +\sqrt{ 4^i }) }
= (5+\sqrt{4^0}) + (5+\sqrt{4^1}) + (5+\sqrt{4^2}) + (5+\sqrt{4^3}) $$ = (5+\sqrt{1}) + (5+\sqrt{4}) + (5+\sqrt{16}) + (5+\sqrt{64}) $

= (5+1) + (5+2) + (5+4) + (5+8)

= 6 + 7 + 9 + 13

= 35


Calculaţi suma:$ \displaystyle{ \sum_{i=1}^{100} (4 + 3i) } $

Soluţie:

$ \displaystyle{ \sum_{i=1}^{100} (4 + 3i) } =
\displaystyle{ \sum_{i=1}^{100}4 } + \displaystyle{ \sum_{i=1}^{100} 3i } $$ = \displaystyle{ \sum_{i=1}^{100}4 } + \displaystyle{ 3 \Big( \sum_{i=1}^{100} i \Big) } $

$ = \displaystyle{ 4 (100) + 3 \Big\{ { 100 (100+1) \over 2 } \Big\} } $

= 400 + 15,150 = 15,550


Calculaţi suma:$ \displaystyle{ \sum_{i=1}^{200} (i-3)^2 } $

Soluţie:

$ \displaystyle{ \sum_{i=1}^{200} (i-3)^2 } =
\displaystyle{ \sum_{i=1}^{200} (i^2 - 6i + 9) } $$ = \displaystyle{ \sum_{i=1}^{200} i^2 - \sum_{i=1}^{200} 6i + \sum_{i=1}^{200} 9 } $

$ = \displaystyle{ \sum_{i=1}^{200} i^2 - 6 \Big( \sum_{i=1}^{200} i \Big) + \sum_{i=1}^{200} 9 } $

$ = \displaystyle{ { 200(200+1)(400+1) \over 6 } + 6 \Big\{ { 200(200+1) \over 2 } \Big\} + 9(200) } $

= 2,686,700 - 120,600 + 1800

= 2,567,900


Calculaţi suma:$ \displaystyle{ \sum_{i=15}^{150} (4i+1) } $

Soluţie:

$ \displaystyle{ \sum_{i=15}^{150} (4i+1) } =
\displaystyle{ \sum_{i=15}^{150} 4i + \sum_{i=15}^{150} 1 } $$ = \displaystyle{ 4 \Big( \sum_{i=15}^{150} i \Big) + \sum_{i=15}^{150} 1 } $

$ = \displaystyle{ 4 \Big( \sum_{i=1}^{150} i - \sum_{i=1}^{14} i \Big) + \Big( \sum_{i=1}^{150} 1 - \sum_{i=1}^{14} 1 \Big) } $$ = \displaystyle{ 4 \Big( { 150(150+1) \over 2 } - { 14(14+1) \over 2 } \Big)
+ ( (1)(150) - (1)(14) ) } $

= 4(11,325 - 105) + (136)

= 45,016

Calculaţi suma:$ \displaystyle{ \sum_{i=1}^{50} \big[ \ln(i+3) - \ln(i+2) \big] } $

Soluţie:

https://www.math.ucdavis.edu/~kouba/CalcTwoDIRECTORY/summationsoldirectory/imgnew1.gifhttps://www.math.ucdavis.edu/~kouba/CalcTwoDIRECTORY/summationsoldirectory/imgnew2.gifhttps://www.math.ucdavis.edu/~kouba/CalcTwoDIRECTORY/summationsoldirectory/imgnew3.gifhttps://www.math.ucdavis.edu/~kouba/CalcTwoDIRECTORY/summationsoldirectory/imgnew4.gifhttps://www.math.ucdavis.edu/~kouba/CalcTwoDIRECTORY/summationsoldirectory/imgnew5.gifhttps://www.math.ucdavis.edu/~kouba/CalcTwoDIRECTORY/summationsoldirectory/imgnew6.gif$ = - \ln 3 + ( 0 )+ ( 0 ) + ( 0 ) + ( 0 ) + ... + ( 0 ) + ( 0 ) + ( 0 ) + \ln 53 $

$ = \ln 53 - \ln 3 $

$ \ln A - \ln B = \ln ( A/B ) $

$ = \ln (53/3) $

Calculaţi suma:$ \displaystyle{ \sum_{i=25}^{150}
\Big\{ { 1 \over i+4 }- { 1 \over i+5 } \Big\} } $

Soluţie:

https://www.math.ucdavis.edu/~kouba/CalcTwoDIRECTORY/summationsoldirectory/imgnew7.gifhttps://www.math.ucdavis.edu/~kouba/CalcTwoDIRECTORY/summationsoldirectory/imgnew8.gif$ = \displaystyle{ { 1 \over 29 } + \Big( { -1 \over 30 } + { 1 \over 30 } \Big)...
...31 } + { 1 \over 31 } \Big) + \Big( { -1 \over 32 } + { 1 \over 32 } \Big) + } $$ ... \displaystyle{
+ \Big( { -1 \over 152 } + { 1 \over 152 } \Big)+ \Big( { -...
...3 } \Big) + \Big( { -1 \over 154 } + { 1 \over 154 } \Big) - { 1 \over 155 } } $$ = \displaystyle{ { 1 \over 29 } + (0) + (0) + (0) + ... + (0) + (0) + (0) - { 1 \over 155 } } $

$ = \displaystyle{ { 1 \over 29 } - { 1 \over 155 } } $

$ = \displaystyle{ { 155 - 29 \over 29(155) } } $

$ = \displaystyle{ { 126 \over 4495 } } $

Calculaţi suma:$ \displaystyle{ \sum_{i=10}^{80} (i^3 + i^2) } $

Soluţie:

$ = \displaystyle{ \Big( \sum_{i=1}^{80} i^3 - \sum_{i=1}^{9} i^3 \Big)
+ \Big( \sum_{i=1}^{80} i^2 - \sum_{i=1}^{9} i^2 \Big) }$$ = \displaystyle{ \Big( { 80^2(80+1)^2 \over 4 } - { 9^2(9+1)^2 \over 4 } \Big)
+ \Big( { 80(80+1)(160+1) \over 6 } - { 9(9+1)(18+1) \over 6 } \Big) } $

= 10,497,600  -  2025  + 173,880  -  285 = 10,669,170


Calculaţi suma:$ \displaystyle{ \sum_{i=1}^{20} \sin(i\pi/2) } $

Soluţie:

https://www.math.ucdavis.edu/~kouba/CalcTwoDIRECTORY/summationsoldirectory/imgnew9.gifhttps://www.math.ucdavis.edu/~kouba/CalcTwoDIRECTORY/summationsoldirectory/imgnew10.gifhttps://www.math.ucdavis.edu/~kouba/CalcTwoDIRECTORY/summationsoldirectory/imgnew11.gif$ \sin(n\pi) = 0 $https://www.math.ucdavis.edu/~kouba/CalcTwoDIRECTORY/summationsoldirectory/imgnew12.gifhttps://www.math.ucdavis.edu/~kouba/CalcTwoDIRECTORY/summationsoldirectory/imgnew13.gif$ \sin(\pi/2) = \sin(5\pi/2) = \sin(9\pi/2) = \sin(13\pi/2) = \sin(17\pi/2) = 1 $$ \sin(3\pi/2) = \sin(7\pi/2) = \sin(11\pi/2) = \sin(15\pi/2) = \sin(19\pi/2) = -1 $

= 1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1)

= (1 + (-1)) + (1 + (-1)) + (1 + (-1)) + (1 + (-1)) + (1 + (-1))

= 0 + 0 + 0 + 0 + 0

= 0

Calculaţi suma:$ \displaystyle{ \sum_{i=7}^{32} \cos(i\pi) } $

Soluţie:$ \displaystyle{ \sum_{i=7}^{32} \cos(i\pi) } = \cos(7\pi) + \cos(8\pi) + \cos(9\pi) + \cos(10\pi) + ... + \cos(29\pi) + \cos(30\pi) + \cos(31\pi) + \cos(32\pi) $= ( (-1) + 1 ) + ( (-1) + 1 ) + ... + ( (-1) + 1 ) + ( (-1) + 1 )

= 0 + 0 + ... + 0 + 0= 0.


Calculaţi suma:
$ \displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} i = { n(n+1) \over 2 } } $

Soluţie:$ \displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} [ (i+1)^2 - i^2 ] } = (2^2 - 1^2) + (3^2 - 2^2) + (4^2 - 3^2) + (5^2 - 4^2) + ... + (n^2 - (n-1)^2) + ((n+1)^2 - n^2) $= (-12 + 22) + (-22 + 32) + (-32 + 42) + (-42 + 52) + ... + (-(n-1)2 + n2) + (-n2 + (n+1)2)

= -12 + (22 - 22) + (32 - 32) + (42 - 42) + (52 - 52) + ... + ((n-1)2-(n-1)2) + (n2 - n2) + (n+1)2

= -12 + (0) + (0) + (0) + (0) + ... + (0) + (0) + (n+1)2

= (n+1)2 - 1

= n2 + 2n + 1 - 1

= n2 + 2n

$ \displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} [ (i+1)^2 - i^2 ] }
= \displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} [ i^2 + 2i + 1 - i^2 ] } $

$ = \displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} [ 2i + 1 ] } $$ = \displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} 2i + \sum_{i=1}^{n} 1 } $$ = \displaystyle{ 2 \Big( \sum_{i=1}^{n} i \Big) + \sum_{i=1}^{n} 1 } $$ = \displaystyle{ 2 \Big( \sum_{i=1}^{n} i \Big) + (1)(n) } $

$ = \displaystyle{ 2 \Big( \sum_{i=1}^{n} i \Big) + n } $

$ \displaystyle{ 2 \Big( \sum_{i=1}^{n} i \Big) + n } = n^2 + 2n $

$ \displaystyle{ 2 \Big( \sum_{i=1}^{n} i \Big) } = n^2 + n $

$ \displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} i = { n(n+1) \over 2 } } $


Demostraţi că:
$ \displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} i^2 = { n(n+1)(2n+1) \over 6 } } $

Soluţie:

$ \displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} i^2 = { n(n+1)(2n+1) \over 6 } } $

$ \displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} [ (i+1)^3 - i^3 ] } $$ \displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} [ (i+1)^3 - i^3 ] } = (2^3 - 1^3) + (3^3 - 2^3) + (4^3 - 3^3) + (5^3 - 4^3) + ... + (n^3 - (n-1)^3) + ((n+1)^3 - n^3) $= (-13 + 23) + (-23 + 33) + (-33 + 43) + (-43 + 53) + ... + (-(n-1)3 + n3) + (-n3 + (n+1)3

= -13 + (23 - 23) + (33 - 33) + (43 - 43) + (53 - 53) + ... + ((n-1)3 - (n-1)3) + (n3 - n3) + (n+1)3

= -13 + (0) + (0) + (0) + (0) + ... + (0) + (0) + (n+1)3

= (n+1)3 - 1

= n3 + 3n2 + 3n + 1 - 1

= n3 + 3n2 + 3n

$ \displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} [ (i+1)^3 - i^3 ] }
= \displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} [ i^3 + 3i^2 + 3i + 1 - i^3 ] } $

$ = \displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} [ 3i^2 + 3i + 1 ] } $$ = \displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} 3i^2 + \sum_{i=1}^{n} 3i + \sum_{i=1}^{n} 1 } $

$ = \displaystyle{ 3 \Big( \sum_{i=1}^{n} i^2 \Big) + 3 \Big( \sum_{i=1}^{n} i \Big) + \sum_{i=1}^{n} 1 } $

$ = \displaystyle{ 3 \Big( \sum_{i=1}^{n} i^2 \Big) + 3 \Big\{ { n(n+1) \over 2 } \Big\} + (1)(n) } $

$ = \displaystyle{ 3 \Big( \sum_{i=1}^{n} i^2 \Big) + (3/2)n^2 + (3/2)n + n } $

$ = \displaystyle{ 3 \Big( \sum_{i=1}^{n} i^2 \Big) + (3/2)n^2 + (5/2)n } $

$ \displaystyle{ 3 \Big( \sum_{i=1}^{n} i^2 \Big) + (3/2)n^2 + (5/2)n } = n^3 + 3n^2 + 3n $

$ \displaystyle{ 3 \Big( \sum_{i=1}^{n} i^2 \Big) } = n^3 + (3/2)n^2 + (1/2)n $

$ \displaystyle{ 3 \Big( \sum_{i=1}^{n} i^2 \Big) } = { 2n^3 + 3n^2 + n \over 2 } $

$ \displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} i^2 } = { 2n^3 + 3n^2 + n \over 6 } $

$ = \displaystyle{ n(2n^2 + 3n + 1) \over 6 } $

$ = \displaystyle{ n(n+1)(2n+1) \over 6 } $

Calculaţi: $ \displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\sum_{i=1}^{n} { 1 \over i(i+1) } } $

Soluţie:

$ \displaystyle{ { 1 \over 12 } = { 1 \over 3(4) } } = \displaystyle{ { 4 - 3 \o...
...\over 12 } - { 3 \over 12 } } = \displaystyle{ { 1 \over 3 } - { 1 \over 4 } } $

$ \displaystyle{ 1 \over i(i+1) } = \displaystyle{ {1 \over i } - {1 \over i+1 } } $

$ \displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\sum_{i=1}^{n} { 1 \over i(i+1) } }
= \dis...
..._{n \to \infty }\sum_{i=1}^{n} \Big\{ { 1 \over i } - { 1 \over i+1 } \Big\} } $$
= \displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \Big\{ \Big( { 1 \over 1 } - { 1 \over...
... - { 1 \over n } \Big) + \Big( { 1 \over n } - { 1 \over n+1 } \Big)
\Big\} } $$
= \displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \Big\{ 1 + \Big( { -1 \over 2 } + { 1 ...
...\Big) + \Big( { -1 \over n } + { 1 \over n } \Big)
- { 1 \over n+1 } \Big\} } $$
= \displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \Big\{ 1 + (0) + (0) + (0) + ...
+ (0) + (0) - { 1 \over n+1 } \Big\} } $

$
= \displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \Big\{ 1 - { 1 \over n+1 } \Big\} } $

= 1 - 0

= 1

Calculaţi: $ \displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\sum_{i=1}^{n} { 3 \Big(1 + {1 \over n }\Big)^2 { 1 \over n } } } $

Soluţie:

$ \displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\sum_{i=1}^{n} { 3 \Big(1 + {i \over n }\Bi...
..._{n \to \infty }\sum_{i=1}^{n} { { 3 \over n } \Big(1 + {i \over n }\Big)^2 } }$

$ = \displaystyle{ \lim_{n \to \infty } { 3 \over n } \sum_{i=1}^{n}
\Big\{ 1 + { 2i \over n } + { i^2 \over n^2 } \Big\} } $

$ = \displaystyle{ \lim_{n \to \infty } { 3 \over n } \Big\{ \sum_{i=1}^{n} 1
+ \sum_{i=1}^{n} { 2i \over n } + \sum_{i=1}^{n} { i^2 \over n^2 } \Big\} } $

$ = \displaystyle{ \lim_{n \to \infty } { 3 \over n } \Big\{ \sum_{i=1}^{n} 1
...
...um_{i=1}^{n} i \Big) + { 1 \over n^2 } \Big( \sum_{i=1}^{n} i^2 \Big) \Big\} } $

$ = \displaystyle{ \lim_{n \to \infty } { 3 \over n } \Big\{ (1)(n)
+ { 2 \over n } { n(n+1) \over 2 } + { 1 \over n^2 } { n(n+1)(2n+1) \over 6 } \Big\} } $

$ = \displaystyle{ \lim_{n \to \infty } { 3 \over n } \Big\{ n
+ (n+1) + { (n+1)(2n+1) \over 6n } \Big\} } $

$ = \displaystyle{ \lim_{n \to \infty } { 3 \over n } \Big\{ 2n
+ 1 + { 2n^2 + 3n + 1 \over 6n } \Big\} } $

$ = \displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \Big\{ 6 +
{ 3 \over n } + { 6n^2 + 9n + 3 \over 6n^2 } \Big\} } $

$ = \displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \Big\{ 6 +
{ 3 \over n } + { 6n^2 \over 6n^2 } + { 9n \over 6n^2 } + { 3 \over 6n^2 } \Big\} } $

$ = \displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \Big\{ 6 +
{ 3 \over n } + 1 + { 3 \over 2n } + { 3 \over 6n^2 } \Big\} } $

= 6 + (0) + 1 + (0) + (0)

= 7