Derivata de ordin superior

Definiţia 1: Funcţia [image] se numeşte de două ori derivabilă în punctul [image] dacă funcţia [image] este derivabilă în punctul x0

Definiţia 2: Derivata de la derivata de ordinul întâi a unei funcţii de două ori derivabile într-un punct se numeşte derivata de ordinul doi a acestei funcţii în punctul dat. 

Definiţia 3: Derivata funcţiei [image] în punctul x0 se numeşte derivata de ordinul al doilea a funcţiei f în punctul x0.

Se notează: [image] sau [image] sau [image].

[image] se citeşte:

  1. derivata de ordinul al doilea a funcţiei f în punctul x0

  2. derivata de ordinul doi a funcţiei f în punctul x0

  3. derivata secundă a funcţiei f în punctul x0

  4. f secund de x0.

Conform definiţiei:[image]=[image]

Remarcă:Derivata de ordinul doi a funcţiei [image] într-un punct oarecare [image] este derivata de la derivata de ordinul întâi în acest punct şi are loc relaţia: [image]

Analog se definesc derivatele de orice ordin ale funcţiei fde n oriderivabile într-un punct oarecare[image]:

  1. [image] – derivata de ordinul al treilea (de ordinul trei; terţă) a funcţiei f

  2. [image] – derivata de ordinul patru a funcţiei f .

Definiţia 4: Derivata de la derivata de ordinul n-1 a unei funcţii f de n ori derivabilă se numeşte derivata de ordinul n a acestei funcţii (pentru orice [image]şi [image])

Derivata de ordinul n a funcţiei [image] în punctul x0[image] se notează:

[image] sau [image], unde [image], [image] şi [image].

Remarcă:Derivata de ordinul n a funcţiei [image] într-un punct oarecare [image] este derivata de la derivata de ordinul [image] în acest punct şi are loc relaţia:

[image], unde [image] şi [image]

Derivate de ordinul n , unde [image] şi [image]:

  1. [image] [image] [image], unde [image];

  2. [image][image] [image], unde [image];

  3. [image][image] [image], unde [image], [image];

  4. [image][image][image], unde [image], [image];

  5. [image][image][image], unde [image];

  6. [image][image][image], unde [image];

  7. [image][image][image], unde [image];

  8. [image][image][image], unde [image];

  9. [image][image][image], unde [image];

  10. [image][image][image], unde [image];

  11. [image][image][image], unde [image];

  12. [image][image][image], unde [image], [image];

  13. [image][image] [image], unde [image], [image].

Teoremă (formula lui Leibniz pentru derivata de ordinul n a produsului):

Dacă funcţiile [image] şi [image] sunt de n ori derivabile pe intervalul [image], atunci funcţia produs [image] este de n ori derivabilă pe intervalul [image] şi are loc formula: [image], unde [image]