Determinaţi domeniul de continuitate, al funcţiilor f : E→R, (unde E este domeniul maxim de definiţie):

  1. f(x) = sgn(x) = [image]

  2. f(x) = [image].

Să se determine a∈R, astfel încât funcţia f : R[image]R, f(x) = [image], să fie continuă în a = 3.

Determinaţi domeniul de continuitate al funcţiilor f : E→R, (E fiind domeniul maxim de definiţie):

  1. f(x) = min( - 1, x2 – 1)

  2. f(x) = [image]

  3. f(x) = [image]

  4. f(x) = [image]

  5. f(x) = x + [image].

Să se studieze continuitatea funcţiilor f : E→R, (unde E este domeniul maxim de definiţie), în punctele indicate:

f(x) = [image] a = 1;

f(x) = [image] a = 2

f(x) = [image], a = 4

f(x) = [image], a = 0. 

Studiaţi continuitatea următoarelor funcţii în punctul indicat în dreptul fiecăreia dintre ele:

  1. f : [1,6]→R, f(x) = [image] în x = 2 şi x = 5

  2. f : R →R, f(x) = [image] în x = 3

  3. f : (-[image]) →R, f(x) =[image] în x = 0

  4. f : [-1,1) →R, f(x) =x(x+[x]) în x = 0.

Fie următoarea funcţie:[image] [image]

  1. Să se arate că funcţia definită mai sus este continuă pe intervalul [image].

  2. Să se arate că funcţia definită mai sus are discontinuitate de speţa a II-a în punctul [image]

Fie f, g : R→R; precizaţi continuitatea funcţiilor f, g, apoi pentru funcţiile: f + g, fg, [image], în cazurile:

f(x) = [image], g(x) = 1 – 3x

f(x) =[image], g(x) = [image]

Să se studieze continuitatea funcţiilor:

  1. f : R →R, f(x) =│[image]│+│x-2│

  2. f : [0,∞) →R, f(x) = [image]

  3. f : R →R, f(x) = max([image], 5x-7) ;

  4. f : R →R, f(x) =[image].

  5. f : (0,∞) →R, f(x) =[image]

  6. f: R\{-1,0} →R, f(x) =[image]

  7. f : R →R, f(x) =[image]

  8. f : R→R, f(x)= [image]

  9. f : R→R, f(x)= [image]

  10. f : R→R, f(x)= [image].

Sa se studieze continuitatea urmatoarelor functii:

  1. [image], [image], [image]

  2. [image], [image]

  3. [image], [image]

  4. [image], [image]

  5. [image], [image]

  6. [image], [image]

  7. [image], [image]

  8. [image], [image]

  9. [image], [image]

  10. [image], [image] continuă în origine

  11. [image], [image]

  12. [image], [image]

  13. [image], [image]

  14. [image], [image]

  15. [image], [image]

Determinaţi [image], [image], [image]astfel

încat [image] continuă.

Să se determine a, b ∈ R, astfel încât funcţiile următoare să fie continue pe domeniul de definiţie:

  1. f : [1,∞) →R, f(x)= [image];

  2. f : R→R, f(x)= [image]

  3. f : [0,2) →R, f(x)= [image] , unde a ≥ [image]

  4. f : R→R, f(x)= [image] şi în plus pentru această funcţie să existe [image].

Care din funcţiile f : R→R, următoare, sunt continue pe R?

  1. f(x) = [image]

  2. f(x) = [image]

  3. f(x) = [image]

  4. f(x) = [image].

Se consideră funcţia f:R→R, cu proprietatea că │f(x)- cos x│≤│sin x│, oricare ar fi x[image]R. Arătaţi că f(0)=1 şi că f este continuă în x=0.

Arătaţi că funcţiile următoare nu au proprietatea lui Darboux:

  1. f : [-1,1] →R, f(x)= [image]

  2. f : R→R, f(x)= [image]

  3. f : R→R, f(x)= [image].

Prelungiţi prin continuitate fiecare dintre funcţiile următoare în punctul indicat în dreptul ei:

  1. f : R\{1}→R, f(x)=[image] , în x = 0

  2. f : R\{-2,1}→R, f(x)=[image] , în x = -2

  3. f : (-1,0)[image](0,1) →R, f(x)= [image] , în x = 0

  4. f : R[image]→R, f(x)= [image], în x = 0.

Să se arate că nici una dintre următoarele funcţii nu poate fi prelungită prin continuitate în punctul indicat în dreptul ei

  1. f : R\{1}→R, f(x)=[image] , în x = 1

  2. f : R\{1}→R, f(x)= [image], în x = 1

  3. f : R\{0}→R, f(x)= [image], în x = 0.

Să se studieze continuitatea funcţiei f:R→R, f(x)=[image].

Să se determine parametrii reali a,b,c astfel încât funcţia f : R→R, f(x)=[image] să fie continuă pe R şi să existe [image].

Fie f : R→R, │f(x)-[image]│≤ 2│x│,[image]R. Să se arate că f(0)=0 şi f este continuă în x = 0

Fie f : R→R, f(x)= [image], I= [1,3]

  1. Să se studieze continuitatea funcţiei f.

  2. Să se arate că funcţia f nu are proprietatea lui Darboux pe I.

Sa se stabileasca daca functia f:D→R are proprietatea lui Darboux pe intervalul dat :

  1. f(x) = [image], I=(-1, 2]

  2. f(x) = [image], I= [image]

Sa se determine valoarea constantei [image] astfel incat [image], [image] sa fie continua.

Fie[image],[image] sa se studieze continuitatea.

Sa se prelungeasca [image] prin continuitate in [image] pentru [image], [image]

Sa se determine [image] astfel incat [image] sa fie continua pe [image].[image], [image]

Sa se determine a si b reale astfel incat functia f sa aiba proprietatea lui Darboux:

[image]

Să se precizeze care din funcţiile de mai jos are proprietatea lui Darboux:

  1. [image], [image]

  2. [image], [image]

  3. [image], [image]

  4. [image], [image]

  5. [image], [image]

  6. [image], [image]

  7. [image], [image]

  8. [image], [image]

Fie[image],[image].Sa se cerceteze continuitatea functiei si sa se demonstreze ca [image] are proprietatea lui Darboux [image] [image].

Fie[image],[image]. Sa se

arate ca [image] are proprietatea lui Darboux [image] [image].

Daca [image] au proprietatea lui Darboux, rezulta [image] are proprietatea lui Darboux? Argumentati raspunsul.

Se considera[image], [image]. Sa se arate ca [image] nu are proprietatea lui Darboux.

Fie [image] cu proprietatea [image], [image], sa se arate ca ecuatia [image] are cel putin o radacina.