Vecinatate: 

Definitie: Se numeşte vecinătate a punctului a orice mulţime [image] care conţine un interval deschis centrat în a.

[image]

[image]

Punct de acumulare

Definitie: Fie [image] o submulţime. Un punct [image] se numeşte punct de acumulare pentru [image] dacă în orice vecinătate a lui [image] există cel puţin un punct [image]

Exemplu: Pentru [image], [image] orice punct [image] este un punct de acumulare.

Continuitate intr-un Punct

Definitie: Fie [image] o funcţie şi [image]. Se spune că funcţia [image] este continuă în punctul [image] dacă[image].

Definitie: Fie [image] o funcţie şi [image]. Se spune că funcţia [image] este continuă în punctul [image] dacă [image], [image] astfel încât [image] avem [image].

[image]

[image]

Teorema de caracterizare a continuităţii

Fie[image],[image]. Următoarele afirmaţii sunt adevărate:

  1. [image] continuă în [image]

  2. [image], [image] astfel încât [image] cu proprietatea [image] atunci [image][image]

  3. [image] şirul [image], [image], [image] atunci [image]

Definitie: Fie[image]. Dacă [image] nu este un punct de continuitate pentru funcţia [image] spunem că [image] este discontinuă în punctul [image], iar [image] se numeşte punct de discontinuitate.

Definitie: Fie [image] un punct de discontinuitate pentru funcţia f. Dacă limitele laterale în punctul [image] există şi sunt finite, se spune că [image] este punct de discontinuitate de primă speţă.

Orice punct de discontinuitate care nu este de primă speţă este un punct de discontinuitate de speţa a doua, deci într-un punct de discontinuitate de speţa a doua cel puţin una din limitele laterale este infinită sau nu există. 

Functie Continua pe o Multime 

Definitie: Se spune că o funcţie [image] este continuă pe o mulţime [image] dacă este continuă în fiecare punct din[image].

Teoremă: Funcţiile elementare sunt funcţii continue. Funcţii elementare: polinomială, modul, raţională, radical, exponenţială, logaritmică, trigonometrice directe şi inverse.

Proprietati Generale Ale Functiilor Continue 

Teoremă: Fie [image] două funcţii continue în a. Atunci:

  1. [image] [image] funcţia [image] este continuă în a;

  2. [image] este continuă în a;

  3. [image] este continuă în [image];

  4. [image] este continuă în a.

Teoremă: Fie [image] două funcţii continue în [image]. Atunci:

  1. [image] [image] funcţia [image] este continuă pe [image].

  2. [image] este continuă pe [image].

  3. [image] este continuă în [image];

  4. [image] este continuă în [image];

  5. [image], [image] sunt continue pe [image].

Observatie: Dacă[image], [image]continuă în [image] şi [image] continuă în

[image]atunci funcţia continuă [image] este continuă în [image]

Teorema de mărginire locală a unei funcţii continue: Dacă [image], este o funcţie continuă într-un punct [image] atunci există o vecinătate a punctului în care [image] este mărginită.

Teorema pentru semnul unei funcţii continue, nenule într-un punct: Dacă [image] este continuă în a şi [image] atunci [image] o vecinătate a lui a pe care [image] nu îşi schimbă semnul.

Definitie: O funcţie [image], ([image] – interval) are proprietatea lui Darboux pe [image] dacă [image] şi [image] situat între [image]şi [image],[image] cel puţin un număr c situat între [image] şi [image] astfel încât [image].

Teoremă: Orice funcţie continuă pe un interval are proprietatea lui Darboux.

Prelungirea prin continuitatea a unei funcţii într-un punct:

Funcţia [image]definită prin [image] se numeşte

prelungirea prin continuitatea a funcţiei [image] în punctul a.

Proprietatile Functiilor Continue pe un Interval Inchis 

Teorema lui Weierstrass: Fie [image] o funcţie continuă. Atunci[image]este mărginită şi mai mult, îşi atinge marginile pe acest interval.

Corolar 1 (lemă): Dacă [image] este o funcţie continuă şi[image] atunci [image] cel puţin un punct [image] astfel încât [image].

Corolar 2 (Semnul unei funcţii): Fie[image], [image] interval,[image]o funcţie continuă care nu se anulează pe [image]. Atunci [image] are acelaşi semn pe tot intervalul.

Corolar 3: Fie[image] o funcţie continuă, pentru care [image]si [image], atunci funcţia se anulează cel puţin o dată pe [image].

Corolar 4: Fie [image], [image] un interval şi [image] este continuă pe [image]. Atunci mulţimea [image] este deasemenea un interval.

Monotonia Functiilor Continue si Injective 

Teoremă: Fie[image]un interval închis şi mărginit (deschis) din [image] şi [image] o funcţie continuă şi injectivă. Atunci [image] este strict monotonă pe [image].

Teoremă:

  1. Funcţia continuă[image],[image]este bijectivă [image][image] este strict monotonă;

  2. [image] inversabilă, inversa sa [image] este continuă şi strict monotonă