Functii Derivabile Teorie

 

Definiţia derivatei unei funcţii într-un punct

Fie funcţia reală [image] şi [image] un punct de acumulare pentru [image].

  1. Se spune că funcţia f are derivată în punctul [image], dacă există limita [image], notată [image].

  2. Dacă derivata [image] există şi este finită, se spune că funcţia f este derivabilă în [image]. Notînd [image] şi [image], avem [image]=[image].

  3. Funcţia f se numeşte derivabilă pe mulţimea AÌD, dacă este derivabilă în orice punct al mulţimii A.

Funcţia [image] se numeşte derivata funcţiei f pe mulţimea A.

Teoremă: Orice funcţie derivabilă într-un punct este continuă în acel punct.

Obervaţie: Afirmaţia reciprocă nu este adevărată.

Interpretarea Geometrica a Derivatei 

Dacă funcţia [image] (I-interval) este derivabilă în punctul [image], atunci la grafucul ei, în punctul[image], se poate trasa tangenta neverticală, iar panta m a tangentei (coeficientul unghiular al tangentei) este egală cu [image].

[image]

  1. [image], j- măsura unghiului dintre semiaxa pozitivă a absciselor şi dreapta tangentă la graficul funcţiei f în punctul [image], iar ecuaţia dreptei tangente la grafic este [image].

  2. Dacă [image], atunci tangenta în punctul [image] este paralelă cu axa Oy.

Derivate laterale:

  1. Dacă există limita[image]=[image], ea se numeşte derivata la stînga a funcţie f în punctul [image]. Dacă limita este finită, atunci f se numeşte derivabilă la stînga în [image].

  2. Dacă există limita[image]=[image], ea se numeşte derivata la dreapta a funcţie f în punctul [image]. Dacă limita este finită, atunci f se numeşte derivabilă la dreapta în [image].

Teoremă: Dacă f este derivabilă în [image], atunci[image]=[image]=[image]. Reciproc, dacă f are derivate laterale finite în [image] şi [image]=[image], atunci f este derivabilă în [image]şi [image]=[image]=[image].  

Puncte de întoarcere

Dacă [image] şi [image] (sau invers) şi f este continuă în [image], atunci punctul [image] se numeşte punct de întoarcere al graficului funcţiei f.

[image] [image]

Punct Unghiular

Dacă f este continuă în [image], [image][image] şi cel puţin una dintre derivatele laterale este finită, atunci punctul [image] se numeşte punct unghiular al graficului funcţiei f. Într-un punct unghiular cele două semitangente, la stînga şi la dreapta, formează între ele un unghi cu măsura [image].

[image] [image]

Diferenţiala unei funcţii

Fie[image], o funcţie derivabilă într-un punct [image].

Funcţia [image]se numeşte diferenţiala funcţiei f în punctul [image] şi se notează [image]. [image] [image].

Dacă f este derivabilă în orice punct al intervalului [image], atunci

[image]

Derivata funcţiei f în punctul x poate fi scrisă în forma [image].

Formulă de calcul aproximativ a valorii unei funcţii într-un punct dat: [image]