Definitie. Fie D ⊆ R, D ≠ ∅. Un punct x0[image] se numeşte punct de acumulare pentru D dacă oricare ar fi V ∈ V(x0) avem: (V \ {x0})∩D ≠ ∅.

Notăm mulţimea punctelor de acumulare ale mulţimii D cu D

Definitie. Dacă un punct aparţine mulţimii D şi nu este punct de acumulare pentru D, atunci el se numeşte punct izolat pentru D .

Mai precis: a ∈ D este punct izolat pentru D dacă există U∈ V(a) astel Incât (U \ {a})∩D = ∅ (vecinătatea U are In comun cu mulţimea D cel mult punctul a) . 

Exemplu 1: D = N . In acest caz D= {∞}

Rezolvare: Fie V = [image] ∈V(∞) . (V \ {x0})∩D ≠ ∅ (V conţine toate numerele naturale mai mari sau egale cu 1+ [[image]]).  

Exemplu 2: D = [ 0 , 1) [image] . In acest caz D’ =[ 0 , 1] .

Rezolvare: Punctele interioare din x0 ∈ (0 , 1) sunt evident punctele de acumulare pentru D .

Orice vecinătate a lui 1 şi orice vecinătate a lui 0 are elemente In comun cu D (deci 0 şi 1sunt puncte de acumulare pentru D)

Punctul 2 este izolat pentru D: alegând V = (1,7; 2,3) ∈ V( 2) avem V ∩ D = {2} adică (V \ {2})∩D =∅  

Definitie: Fie f : D → R, D ⊆ R , D≠∅ şi x0 ∈ D’. Punctul ℓ ∈ [image]este limita funcţiei In x0 dacă [image] V ∈ V(ℓ), [image] U ∈ V(x0), astfel Incât f(x) ∈ V pentru orice x ∈ D∩U , x[image]x0 .

Limita funcţiei In punctul x0 se notează [image] şi se citeşte, limită când x tinde la x0 din f(x) 

Teoremă: Dacă limita unei funcţii există atunci ea este unică .

Cazuri exceptate şi neexceptate la operaţii cu limite de funcţii

I. In calculul limitelor de funcţii se Intâlnesc următoarele cazuri exceptate sau forme nedeterminate, care se mai numesc şi nedeterminărişi se scriu simbolic astfel: 

[image]

[image]

[image]

[image]

[image]

[image]

[image]

 

II. In calculul limitelor de funcţii se Intâlnesc următoarele cazuri neexceptate, care nu cer eliminarea nedeterminărilor, dar se calculează direct (nemijlocit).  

Cazurile neexceptate se scriu simbolic astfel:

[image]

[image]

[image]

[image]

[image]

[image]

[image]

[image][image]

[image]

[image]

[image]

[image]

[image], unde [image],

[image]

[image]

[image]

[image]

[image]

[image], dacă [image];

[image], dacă [image].

 

Limite laterale ale funcţiei [image]:

  1. Limita de stânga a funcţiei f In punctul este numărul [image]

  2. [image];

  1. Limita de dreapta a funcţiei f In punctul este numărul [image]: [image]

Definiţia:Numerele reale [image] şi [image] se numesc limite laterale ale funcţiei [image] In punctul [image].  

Teorema (Condiţia necesară şi suficientă de existenţă a limitei funcţiei Intr-un punct):

Fie [image], [image] şi [image]un punct de acumulare pentru mulţimile [image] şi [image]. Au loc următoarele proprietăţi:

  1. Dacă funcţia f are limită In punctul [image], atunci ea are limite laterale egale In punctul [image] şi au loc egalităţile [image]

  2. Dacă funcţia f are limite laterale egale In punctul [image], adică [image], atunci funcţia f are limită In punctul [image] şi au loc egalităţile [image].

Teorema (criteriul de existenţă a limitei funcţiei Intr-un punct):

Funcţia [image] are limită In punctul de acumulare [image] al mulţimii D dacă şi numai dacă ea are limite laterale egale In punctul [image]

Dacă [image], atunci [image] şi [image];

Dacă [image], atunci [image] şi are loc egalitatea [image];

Dacă există limitele laterale şi ele sunt egale, adică [image], atunci există limita funcţiei f In punctul [image] şi [image]

Limite remarcabile şi fundamentale de funcţii reale 

I. Limite remarcabile de funcţii reale:

[image]

[image]

[image]

[image]

[image]

[image]

 

[image] Numărul e = 2,718281828459045268… este un număr iraţional numit numărul lui Euler .

 

[image], [image];

[image]

[image], [image];

[image]

[image], [image];

[image]

[image];

 

[image]

 

[image]

[image]

[image]

[image]

[image]

[image]

 

Remarcă :

Dacă [image], atunci:

  1. [image]; [image]; [image]; [image];

  2. [image]; [image]; [image]; [image];

  3. [image]; [image]; [image]; [image]

In caz general au loc următoarele formule pentru limite uzuale:

  1. [image], dacă [image];

  2. [image], dacă [image];

  3. [image], dacă [image];

  4. [image], [image]şi [image];

  5. [image], dacă [image];

  6. [image], [image] şi [image];

  7. [image], dacă [image];

  8. [image], [image] şi [image];

  9. [image], dacă [image];

  10. [image], dacă [image];

  11. [image], dacă [image];

  12. [image], dacă [image].

II. Limite fundamentale de funcţii reale

Observaţie: Pentru funcţiile elementare [image] există limita lor In punctul [image]şi ea este egală cu valoarea funcţiei In acest punct: [image].

Limite neexceptate ale unor funcţii elementare

  1. [image], unde [image].

  2. Dacă [image] şi [image] şi [image]sunt două polinoame cu coeficienţi reali, atunci:

    1. [image]

    2. [image];

    3. [image][image][image], dacă [image];

    4. [image];

    5. [image]

    6. [image]

  3. [image];

[image];

[image],[image];

[image];

[image],[image].

  1. [image]ax = 0, dacă a>1;

  2. [image], dacă a>1;

    [image]ax = 0, dacă 0 < a < 1;

    [image], dacă 0 < a < 1;

  1. [image], dacă a>1 şi [image];

  2. [image], dacă a>1 şi [image];

    [image], dacă 0 < a < 1 şi [image];

    [image], dacă 0 < a < 1 şi [image].

  1. [image], [image];

  2. [image];

    [image].

  1. [image], [image];

  2. [image];

    [image].

  1. [image], [image];

  2. [image];

    [image].

  1. [image], [image];

  2. [image];

    [image].

  1. [image];

  2. [image];

    [image].

  1. [image];

  2. [image];

  3. [image].