Exerciţiu: Sǎ se arate, folosind definiţia, cǎ:

  1. [image]

  2. [image]

Rezolvare:

  1. Trebuie sǎ arǎtǎm cǎ: [image]

Avem însa [image]Rezultǎ cǎ, atunci când [image].Inegalitatea [image] devine: [image] Putem deci alege [image].

  1. Trebuie sǎ arǎtǎm cǎ:[image]. Aceastǎ inegalitate devine: [image] Se calculeazǎ discriminantul trinomului de gradul al II-lea:

[image]

Acesta este la randul sǎu un trinom de gradul al II-lea in [image], având discriminantul [image]. Rǎdǎcinile ecuatiei [image] sunt deci [image]. Ne intereseazǎ semnul trinomului [image] pentru [image]. Pentru [image]. Inecuaţia [image] este verificatǎ de orice valoare a lui n. Se poate alege in acest caz [image].

Dacǎ însa [image]. Inecuaţia [image] este verificatǎ când [image].

Se poate allege [image].

Rezultǎ [image];

În consecinţǎ, [image].



Criteriul majorarii.

Daca sirul [image] cu teremenii pozitivi este convergent la zero si are loc inegalitatea: [image]atunci şirul [image] este convergent la [image].

Daca avem [image], atunci [image]

Daca avem [image], atunci [image].

Exerciţiu: Utilizând criteriul majorǎrii, sǎ se arate ca:

  1. [image]

  2. [image]

Rezolvare:

  1. Avem [image]. Cum [image]

  2. Fie [image]. Dezvoltǎm [image]cu binomul lui Newton: [image]

Însa toţi termenii care apar în dezvoltare sunt pozitivi, deoarece [image]. Suma tuturor termenilor fiind n, fiecare dintre aceştia trebuie sa fie mai mic decat n. Scriem aceasta pentru termenul al treilea:

[image]

Cum [image]

Exerciţiu: Fie şirul cu termenul general [image]. Sǎ se calculeze [image].

Rezolvare: Avem [image].

Cum [image]



Criteriul clestelui Fie trei siruri [image] astfel incat:

[image]. Atunci [image].

Exerciţiu: Sa se calculeze: [image]

Rezolvare: Fie [image]. Evident cǎ nu putem calcula [image]sub o formǎ mai simplǎ. Observǎm însǎ cǎ:

[image].

Rezultǎ de aici:[image] Se observǎ acum cǎ [image]. Conform criteriului cleştelui, rezultǎ cǎ [image].

Exerciţiu: Sǎ se arate cǎ: [image]

Rezolvare: Avem [image]. Conform criteriului precedent, rezulta ca [image].



Criteriul subsirurilor

  1. Daca doua subsiruri distincte ale unui sir dat au limite diferite (sau sirul dat contine un subsir a carui limita nu exista), atunci sirul dat nu are limita.

  2. Daca un sir dat este acoperit de subsiruri avand o limita comuna. Intreg sirul tinde spre acea limita (nu am vorbit de convergenta, pentru a include si cazul in care limita comuna este [image]).

Observatie. Prin “acoperit” intelegem ca subsirurile respective cuprind toti termenii sirului. Spre exemplu, subsirurile [image]acopera un sir dat, in timp ce subsirurile [image]nu il acopera.

Exerciţiu: Sǎ se studieze convergenţa şirurilor cu termenii generali:

  1. [image]

  2. [image]

Rezolvare:

  1. Sirul dat contine subsirurile:[image] si [image]. Prin urmare, sirul dat este divergent.

  2. Avem [image]. Rezulta ca sirul este convergent la 1.



Monotonie şi mǎrginire

  1. Orice şir monoton crescǎtor şi mǎrginit superior este convergent.

  2. Orice şir monoton descrescǎtor şi mǎrginit inferior este convergent.

Exerciţiu: Fie [image]un sir cu proprietatile [image]. Sǎ se arate ca şirul [image] este convergent.

Rezolvare: Ce apare oarecum dificil aici este ca sirul implicat nu este definit strict prin formula termenului general sau relatie de recurenta. Sirul este caracterizat numai prin doua inegalitati, din care trebuie sa rezulte convergenta. [image] Ţinem cont cǎ [image]şi rezultǎ [image]şirul [image] este strict descrescǎtor. [image] şirul [image]este mǎrginit inferior de 0. Conform criteriului lui Weierstrass, rezultǎ ca şirul este convergent.

Exerciţiu: Fie şirul [image]. Se defineşte şirul [image]. Sǎ se arate cǎ şirul [image]este strict monoton şi cǎ [image]. Sǎ se calculeze [image].

Rezolvare: Sigur cǎ prima idee care vine în minte este cǎ în produsul [image]s-ar simplifica nişte factori, obţinându-se o expresie mai simplǎ pentru [image] dar nu putem aplica aceastǎ regulǎ.

O primǎ observaţie este ca [image]. Mai mult, se vede imediat cǎ [image]. Cum însǎ [image]sirul[image]este strict descrescǎtor. Pentru stabilirea inegalitǎţii [image], recurgem la metoda inductiei matematice.

Mai intai, se vede cǎ [image]; inegalitatea se verificǎ asadar prin calcul direct pentru [image]. Presupunem acum pentru [image][image]. Trebuie demonstrat cǎ pentru [image] avem inegalitatea [image]. Se inmulteste inegalitatea [image] cu [image] si rezulta: [image] Pentru a deduce de aici inegalitatea [image]este suficient sǎ arǎtǎm cǎ:

[image]

care este evidentǎ. Rezultǎ [image] Cum [image], conform criteriului majorǎrii.