Siruri de Numere - Probleme


Fie şirul de numere [image], unde:

[image], [image] şi [image], [image]

  1. Calculaţi primii patru termeni ai şirului;

  2. Să se găsească formula termenului general;

  3. Demonstraţi prin inducţie matematică formula găsită;

  4. Decideţi daca acest şir este o progresie aritmetică.



Fie şirul de numere reale [image]

  1. Calculaţi [image]

  2. Să se arate că [image]

  3. Să se arate că şirul [image] este descrescător.



Fie şirul de numere reale [image].

  1. Calculaţi [image]

  2. Să se arate că [image]este monoton;

  3. Să se arate că şirul [image] este mărginit.



Studiaţi monotonia şirurilor [image] ,unde :

  1. [image]

  2. [image] ;

  3. [image] ;

  4. [image] ;

  5. [image] ;

  6. [image] ;

  7. [image] ;

  8. [image] .

  9. [image] ;

  10. [image] .



Să se demonstreze că următoarele şiruri sunt mărginite şi monotone şi să se arate că numărul real l este limita şirului considerat aplicînd teorema de convergenţa cu ε a limitei unui sir:

  1. [image]

  2. [image]



Fie şirul de numere reale [image] definit prin [image].

  1. Să se arate că dacă [image], atunci şirul [image] este strict crescător;

  2. Să se arate că dacă [image], atunci şirul [image] este strict descrescător;

  3. Să se arate că pentru orice [image], şirul [image] este convergent la 3.



Arătaţi că şirurile următoare sunt monotone:

  1. [image];

  2. [image];

  3. [image].



Demonstraţi că:

  1. Şirul [image], [image] este crescător;

  2. Şirul [image], [image] este strict monoton.



Şirul [image] este definit prin [image] şi [image]. Să se arate că şirul este monoton.



Se consideră şirurile [image] şi [image], [image][image].

  1. Demonstraţi că şirul [image]este strict crescător, iar şirul [image] este strict descrescător;

  2. Demonstraţi că şirurile [image] şi [image]sunt convergente şi au aceeaşi limită;

  3. Demonstraţi că limita şirului [image] este număr iraţional.



Se considera sirul cu termenul general:[image]Să se calculeze [image]



Se consideră sirul cu termenul general: [image] Sa se calculeze [image]



Să se calculeze limita următorului şir, dat prin relaţia de recurenţă

  1. an+1 = an - [image]an-1 cu a0 = 1 , a1 = [image];

  2. an+1 = [image] cu a0 = 1 , a1 = 0.



Se consideră şirul (an)nєΝ definit prin a1 = 3 , a2 = 10 , iar pentru n≥1, avem relatia de recurenţă : an+2 – 7an+1 +12an = 6n+1. Se cere:

  1. Să se calculeze termenul general al sirului (an)n є Ν ;

  2. Să se calculeze [image]



Determinaţi termenul general şi aflaţi convergenţa şirului [image], unde:

  1. [image]

  2. [image]

  3. [image]

  4. [image] .

  5. [image] .

  6. x[image] = 1 ; [image] .

  7. [image] .

  8. [image] .

  9. [image], [image].

  10. [image] ; [image] .



Să se calculeze limitele următoarelor şiruri (an)nєΝ*

  1. an = [image]

  2. an = [image]

  3. an = [image]

  4. an = [image]

  5. an = [image]

  6. an = [image]



Calculaţi:

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]



Calculaţi:

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image], aflati a si b

[image][image]

[image][image]



Calculaţi

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]. Aflati a si b

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]calculaţi a.

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]. Aflaţi a.

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]. Aflaţi a şi b.

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]Aflaţi a şi b

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]. Aflaţi a.

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]

[image][image]



Se consideră şirul cu termenul general [image] Se cere

  1. Să se determine constantele reale a, b, c, d, astfel încât[image]

  2. Sa se calculeze Sn = [image], scriind rezultatul sub forma cea mai simplă

  3. Sa se arate că şirul cu termenul general (Sn)nєΝ este convergent şi să i se calculeze limita.



Considerăm şirul [image] definit prin [image] . Fie [image]şirul lui Fibonacci.

  1. Să se arate că [image]

  2. Să se arate că [image]unde [image][image];

  3. Să se calculeze limita şirului [image].



Fie şirul de numere reale [image].

  1. Calculaţi [image]

  2. Să se calculeze [image];

  3. Calculaţi [image].



Se dă şirul: [image], Să se calculeze [image]



Se dă şirul: [image] [image] , n[image]

  1. Demonstraţi monotonia şirului

  2. Verificaţi mărginirea şirului

  3. Calculaţi [image]



Se dau şirurile[image] şi [image].

  1. Calculaţi [image];

  2. Calculaţi [image];

  3. Demonstraţi că [image].



Considerăm şirul [image].

  1. Calculaţi [image];

  2. Arătaţi că [image]este convergent;

  3. Demonstraţi că [image].



Considerăm şirul [image].

  1. Demonstraţi că [image]este strict crescător;

  2. Arătaţi că [image]este mărginit;

  3. Calculaţi [image].



Se dă şirul [image].

  1. Calculaţi [image]

  2. Demonstraţi că [image]este mărginit

  3. Calculaţi [image]



Fie şirul [image].

  1. Calculaţi [image]

  2. Demonstraţi că [image]este descrescător;

  3. Calculaţi [image].



Se consideră şirul: [image], definit prin: In = [image], [image]n[image]N* . Se cere:

  1. Calculaţi I2

  2. Să se demonstreze că şirul [image] este strict descrescător.

  3. Să se calculeze: [image]In .



Se consideră şirul: [image], dat de: In = [image], [image]n[image]N* . Se cere:

  1. Să se calculeze I2

  2. Să se verifice, că: In+2 + In = [image], [image]n[image]N* .

  3. Calculaţi: [image]nIn .



Se consideră şirul [image], In = [image], [image]n[image]N*.

  1. Să se calculeze I1.

  2. Să se arate că: In [image][image], [image]n[image]N*.

  3. Să se calculeze: [image]In .