Siruri De Numere

 

Definiţie

Se numeşte şir de numere reale orice funcţie [image], unde [image] sau [image].

Numărul real [image] se notează cu [image] şi se numeşte termenul general de rang [image] al şirului [image]. Şirul [image]va fi notat cu [image].

Exemplu

Progresiile aritmetice şi Progresiile geometrice

PROGRESII ARITMETICE

Se numeşte progresie aritmetică un şir de numere reale [image] în care fiecare termen al şirului, începând de la al II–lea, se obţine din termenul precedent prin adunarea unei constante, notată cu r, numită raţia progresiei aritmetice.

[image]

NOTAŢIE: [image] [image]

[image] [image]

( formula termenului general)

PROGRESII GEOMETRICE 

Se numeşte progresie geometrică un şir de numere reale [image] în care fiecare termen al şirului, începând de la al II–lea, se obţine din termenul precedent prin înmulţirea cu o constantă, notată cu q, numită raţia progresiei geometrice. 

[image]

NOTAŢIE: [image] [image]

[image] [image]

( formula termenului general)

 

Definiţie

Două şiruri de numere reale [image] şi [image] sunt egale dacă [image].

Definiţie

Se numeşte subşir al şirului [image] orice compunere [image][image], a lui [image]cu un şir strict crescător de numere naturale [image].

[image][image].

Exemplu

Pentru şirul [image] cu termenul general [image], subşirul [image], iar subşirul [image]



Definiţia cu Vecinătăţi a limitei unui şir, iruri convergente 

Definiţie

Spunem că [image] este limita unui şir de numere reale [image] dacă orice vecinătate a lui [image] conţine toţi termenii şirului, exceptând (eventual) un număr finit de termeni.

Formulare echivalentă: [image] este limita unui şir de numere reale [image] dacă în afara oricărei vecinătăţi a lui [image] se află cel mult un număr finit de termeni ai şirului.  

Notaţie

[image]

Definiţie:

Un şir de numere reale [image] care are limita finită [image] se numeşte şir convergent.

Un şir de numere reale care nu este convergent se numeşte şir divergent.

Un şir este divergent în una din următoarele situaţii:

  • nu are limită;

  • are limită infinită (+∞ sau -∞).



Şiruri remarcabile

1) Şirul puterilor cu exponent real [image]

[image]

[image]

Natura şirului

[image]

0

convergent

[image]

1

convergent

[image]

[image]

divergent

2) Şirul exponenţial cu baza [image] [image]

[image]

[image]

Natura şirului

[image]

nu există

divergent

[image]

nu există

divergent

[image]

0

convergent

[image]

1

convergent

[image]

[image]

divergent



Teoremă

Orice şir convergent de numere reale este mărginit.

Corolar

Orice şir nemărginit de numere reale este divergent.



Proprietăţile limitei unui şir

  • Dacă un şir are limită, aceasta este unică.

  • Prin schimbarea ordinii termenilor unui şir care are limită, se obţine un şir care are aceeaşi limită cu şirul dat.

  • Prin adăugarea/ înlăturarea unui număr finit de termeni dintr-un şir care ale limită, se obţine un alt şir, dar cu aceeaşi limită.

  • Limita unui şir convergent având termeni pozitivi este pozitivă. ( analog pentru un şir cu termeni negativi)

  • Dacă şirul [image] şi [image], atunci există un rang [image] astfel încât [image].

  • Limita unui şir strict crescător este mai mare decât termenii şirului. ( analog pentru un şir strict descrescător).

  • Dacă [image], atunci [image].

  • Dacă un şir are limită ( finită sau infinită), atunci orice subşir al său va avea aceeaşi limită.

  • Un şir este divergent dacă conţine două subşiruri convergente cu limite diferite.

  • Teorema Bolzano-Weiwerstrass Din orice şir mărginit se poate extrage un subşir convergent.

  • Consecinţă Dacă toate subşirurile unui şir sunt convergente la acelaşi număr, atunci şirul dat este convergent la acel număr.

  • Dacă un şir este reuniunea a două sau mai multe subşiruri care au aceeaşi limită, atunci şirul are aceeaşi limită.



Alte criterii pentru existenţa limitei unui şir

  1. Criteriul majorării

    1. Criteriul majorării pentru şiruri convergente Dacă există [image] şi şirul [image] astfel încât [image] şi [image], atunci [image].

    2. Criteriul majorării pentru şiruri divergente

      1. Dacă există şirul [image] astfel încât [image] şi [image], atunci [image].

      2. Dacă există şirul [image] astfel încât [image] şi [image], atunci [image].

  1. Trecerea la limită în inegalităţi. Fie [image] şi [image] două şiruri care au limită ( finită sau infinită). Dacă [image] ( sau [image], [image] fixat, atunci
    [image].

  1. Teorema cleştelui Fie [image] , [image] şi [image] trei şiruri de numere reale care îndeplinesc simultan condiţiile:

  1. [image] ( sau [image], [image] fixat

  2. [image]

Atunci şirul [image] are limită şi [image]



Limita şirurilor monotone. Proprietatea lui Weierstrass

Teoremă ( limita şirurilor monotone nemărginite)

1. Orice şir crescător şi nemărginit superior de numere reale are limita [image].

2. Orice şir crescător şi nemărginit inferior de numere reale are limita [image].

Proprietatea lui Weierstrass

Orice şir monoton şi mărginit de numere reale este convergent.

Şirul remarcabil [image]

Proprietăţi:

  1. [image] este strict crescător şi mărginit , [image].

  2. Conform Proprietăţii lui Weiwerstrass, şirul [image]este convergent. Notăm cu [image] limita sa. [image], [image].



Limite remarcabile ( [image])

  1. Dacă [image], atunci [image]

  2. Dacă [image], atunci [image]

  3. Dacă [image], atunci [image].



Şiruri şi funcţii integrabile Riemann 

Definiţie

Fie o funcţie [image]. Spunem că funcţia [image] este integrabilă Riemann pe [image] dacă:

  1. oricare ar fi şirul de diviziuni [image], cu [image] şi

  2. oricare ar fi sistemul de puncte intermediare [image], [image] ,

şirul sumelor Riemann ([image]) este convergent la numărul real notat [image].

[image]se numeşte integrala definită Riemann a funcţiei [image] pe [image].