Cercul



O coardă a unui cerc cu raza de 5 cm are lungimea de 8 cm. Aflaţi distanţa de la centrul cercului la coardă.



O coardă a unui cerc cu raza de 10 cm este situată la distanţa de 6 cm de centrul cercului. Aflaţi lungimea coardei.



Fie un cerc având raza de lungime 10 cm şi un arc AB cu măsura de 600. Aflaţi lungimea coardei AB.



Coarda AB a unui cerc cu raza de lungime 12 cm are lungimea de 12 cm. Să se afle măsura arcului mic AB.



În figura de mai jos punctele A, B, C, D aparţin cercului având raza de 6 cm, BC este diametru şi m(∠DBC)=600.

[image]

  1. Determinaţi lungimea diametrului şi a coardelor BD şi CD;

  2. Determinaţi măsurile arcelor: BD, CD, DCA, BA;

  3. Determinaţi distanţa de la centru la coarda BD şi distanţa de la centru la coarda CD.



Pe cercul de centru O şi diametru AB=2R se ia punctul C astfel încât măsura arcului AC să fie de 600. Să se afle în funcţie de R lungimea segmentului BC.



Fie I punctul de intersecţie al bisectoarelor interioare ale triunghiului ABC. Fie D intersecţia dreptei AI cu cercul circumscris triunghiului. Să se arate că triunghiul BDI este isoscel.



Fie un triunghi isoscel cu AB=AC=25 cm şi BC=30 cm. Să se afle raza cercului circumscris triunghiului.



Să se afle raza cercului circumscris triunghiului cu laturile egale cu 13 cm, 14 cm, 15 cm. Generalizare.



Aflaţi raza cercului circumscris unui trapez isoscel, având baza mică congruentă cu laturile neparalele şi egală cu 12 cm iar unghiurile dintre diagonale de 600.



Să se calculeze lungimile segmentelor MA şi MB , unde dreptele MA şi MB sunt tangentele duse din punctul M la un cerc ştiind că lungimea razei cercului este de 8 cm iar măsura arcului AB este de 1200.

[image]

Câte tangente comune pot fi desenate pentru cele doua cercuri din figura?

[image]

Dacă AB este diametru unui semicerc iar C şi D două puncte pe semicerc. Dacă m(∠P)=160 şi m(∠CAD)=500, calculaţi m(∠DAB)

Aflaţi raza cercului circumscris unui triunghi isoscel ABC; AB=AC=12 cm şi BC=18 cm.

Un sector de cerc cu raza de 18 cm şi unghiul de 120°. Aflaţi aria sectorului de cerc şi lungimea arcului sectorului de cerc.

[image]

Fie cercul din figură unde AOBC. Demostraţi că arcul CEBF

[image]

Fie cercul cu centrul O şi raza de 15 cm. Punctele P, Q şi R sunt puncte pe cerc. Care este aria haşurată?

Fie un cerc cu raza de 8 cm şi un punct P ȋn exteriorul cercului.Tangentele la cerc duse din P, ȋntâlnesc cercul ȋn A şi B. Dacă m(∠APB)=60°, aflaţi lungimea segmentului AB, măsura arcului AB şi aria patrulaterului AOBP.

Pe un cerc se iau punctele A, B, C, D ȋn această ordine astfel ȋncât arcele AB=48°; BC=102°; iar CDDA. Aflaţi măsurile unghiurilor ADC; ABD; ABC; DBC; DAB

În cercul cu centrul ȋn O coardele AB şi CD se intersectează ȋn punctul E. Dacă măsura arcului AC este 460 şi măsura arcului DB este 1240, calculaţi m(∠CEB).  

[image]

Dacă OM=4 cm şi AB=20 cm calculaţi raza cercului din figură.

[image]

Fie cercul din figură ȋn care avem: arcul ACAD, BEAC, BFAD, iar B este mijlocul segmentului CD. Demostraţi că EBFB

[image]

Patrulaterul PQRS este circumscris cercului din figură Dacă AQ=8, QR=13, şi DS=11, calculaţi lungimea lui RS 

In cercul O, coarda AB este paralelă cu diametrul CD. Dacă masura arcului AB = 3m(AC) gasiţi: masura arcului AC, m(∠AOB), m(∠AEB), m(∠AFC), m(∠BDE).

[image]

Se dă diametrul AB, ADAC, BCOB. Demostraţi că ∠B≅∠AOD

[image]

Dacă arcul ABCD. Demostraţi că ∠ABC≅∠DCB

[image]

Dacă măsura arcului AD= 950 şi m(∠BEC)=810 calculaţi măsura arcului BC.[image]

Dacă măsura arcului AB=1480 şi m(∠B)=540, calculaţi măsurile unghiurilor x şi y

[image]

AB este diametrul cercului cu centrul ȋn O, OX||BY şi m(∠AOX)=440. Calculaţi măsura arcului BY.


[image]


Fie figura de mai jos patratul BCDE are latura de lungime 4 cm. Determinaţi aria aproximativă a zonei albe din interiorul cercului (p = 3,14).

[image]



Fie figura de mai jos în care BCD este triunghi echilateral având perimetrul egal cu 12[image]cm. Determinaţi aria aproximativă a zonei albe din interiorul cercului (p = 3,14).

[image]



Terenul de aterizare al unui elicopter este marcat cu trei cercuri concentrice, având diametrele de 2m, 20m, respectiv 200m.

  1. Care este suprafaţa mărginită de cercul mic şi cel mijlociu?

  2. Cu cât ar creşte lungimea cercului mare dacă raza sa ar creşte cu 1 m?

  3. Cu cât ar creşte suprafaţa cercului mic dacă raza sa ar creşte cu 1 m?



Un tinichigiu doreşte ca dintr-o foaie de tablă în formă de semicerc să decupeze un pătrat. Raza cercului din care provine semicercu este egală cu 3√5 dm.

  1. Aflaţi aria semicercului.

  2. Aflaţi lungimea laturii pătratului ABCD.

  3. Arătaţi că raportul dintre aria pătratului şi aria semicercului este mai mare decât 0,5. (p = 3,14).



Fie C(O; r), r = 4 cm ,iar AC(O; r), BC(O; r) astfel încât m(∠AOB)=900. Calculaţi aria triunghiului AOC, unde C este simetricul lui B fată de O.



Se consideră A, B, C trei puncte pe un cerc de rază r astfel încât triunghiul ABC este echilateral. Pe planul cercului se ridică perpendicularele AM, BN, CP, în acelaşi semispaţiu delimitat de planul (ABC), astfel încât AM = 4a, BN = CP = a, a > 0. Să se arate că dreapta de intersecţie dintre planele (ABC) şi (MNP) este tangentă la cerc.



În figura de mai jos, cercul de centru O reprezintă schematic un amplasament militar cu raza x m iar OAB este un sector supravegheat de o cameră video montată în O. Unghiul sectorului este120°.

[image]

  1. Arătaţi că aria amplasamentului este x2 p m2

  2. Determinaţi x, ştiind că suprafaţa supravegheată de camera video este 300 p m2.

  3. Pentru x = 30 m să se afle lungimea gardului ce înconjoară amplasamentul (p=3,14).

  4. Care este numărul minim de camere video de tipul celei montate care mai este necesar pentru a fi supravegheat tot amplasamentul, dacă ele se montează tot în O.



Un tinichigiu doreşte ca dintr-o foaie de tablă în formă de semicerc să decupeze un pătrat. Raza cercului din care provine semicercul este egală cu 3Ö5 dm.

[image]

  1. Aflaţi aria semicercului.

  2. Aflaţi lungimea laturii pătratului ABCD.

  3. Arătaţi că raportul dintre aria pătratului şi aria semicercului este mai mare decât 0,5.



Punctele distincte A, B, C, D se află pe cercul de centru O şi raza r = 6 cm, A şi B

diametral opuse, (CD)∩(AB) = {M} şi 3AM = BM. Dacă MN⊥(C(O,r)) şi MN2 = CM×MD:

  1. Calculați distanța de la punctul A la dreapta NB;

  2. Determinați măsura unghiului dreptei BN cu planul cercului;

  3. Aflați distanța de la punctul B la planul (CND) pentru APCD şi AP = 2 cm.



Fie I centrul cercului ȋnscris ȋntr-un triunghi ABC. Mediatoarea segmentului [BI] intersectează latura [BC] ȋn E, mediatoarea segmentului [CI]

intersectează latura [BC] ȋn F, iar cele două mediatoare se taie ȋn P.

  1. Arătați că triunghiul IEF este asemenea cu triunghiul ABC.

  2. Arătați că punctele A, I, P sunt coliniare.