Completati:

  • O dreaptă este considerată ca o mulţime de …..

  • Punctele care aparţin aceleaşi drepte se numesc puncte ………..

  • Două drepte care au un ………. comun se numesc drepte concurente.

  • Un punct A ∈mparte o dreaptă in două ……….

  • Două segmente care au lungimile egale se numesc segmente…….

  • Dacă două segmente sunt egale, atunci cele două segmente sunt congruente. Dacă două segmente sunt congruente, atunci cele două segmente sunt………

  • Dacă [AB]=[CD], atunci [CD]=…..

  • Dacă [AB]=[CD] şi [CD]=[EF] atunci [AB]=…..

  • Punctul O pentru care [AO]=[OB] se numeşte ………. segmentului.



Se dau notaţiile: [AC şi (BF. Care dintre aceste semidrepte conţine originea?



Se dau următoarele scrieri: AB, d, [AB], (AB, (CD), [CE, dreapta AB, [MN]. Incercuiţi: o dreapta, segment, segment deschis, semidreapta închisă, lungimea unui segment, segment închis, semidreaptă deschisă.



Fie punctele A, B, M, D şi N în această ordine, distincte ce aparţin aceleaşi drepte. Indicaţi următoarele multimi: [BM∩[ND; [AD]∩[BM]; (BD∩(AD); (AN∩(MD; [MB∩(DN; [FD∩[DN)



Fie punctele A, B, C, D şi E coliniare în această ordine. Demostraţi că AB+BE=AE+BD.



A, B, C sunt puncte coliniare. Calculaţi lungimea segmentului MN ştiind că AB=4, BC=10 iar M este mijlocul segmentului AB iar N este mijlocul segmentului BC.



Fie A, B, C şi M puncte distincte, ce aparţin aceleaşi drepte astfel încât AB=a cm, BC=b cm, AC=(a-b) cm şi M este mijlocul segmentului AB. Este M între A şi B?



Fie M, N, A şi B patru puncte distincte astfel încât: M∈(AN), B∈(MN). Demostraţi că M∈ (AB); AM+MB=AB; AB+MB=AM; B este mijlocul lui MN.



A, B, C, D, E, sunt puncte diferite şi coliniare astfel încât: AB=3 cm, BC=4 cm, CD=5 cm, DE=6 cm. Dacă AC=7 cm atunci B∈(AC)? Dacă BD=9 cm atunci C∈(BD)? Dacă CE=11 cm atunci D este ȋntre C şi E? Dacă AC=7 cm şi AD=2 cm, atunci D ∈ (BC)?



Stabiliţi valoarea de adevăr a următoarelor propoziţii, ţinând cont de figura de mai jos:

[image]

  1. punctele E, O şi D sunt coliniare;

  2. BOE;

  3. O∈ [DC];

  4. punctele F, D şi C sunt necoliniare;

  5. CGO;

  6. OBE şi O∈[GD];

  7. ABE;

  8. FOD.



Fie dreapta d şi punctele A, B, C şi Dd, în această ordine. Determinaţi:[AB]∩[BC]; [AB]∩[CA; [AC]∩(BD); (AD)∩(BC).



Câte drepte diferite sunt determinate de punctele notate pe desenul de mai jos?

[image]



Considerăm A, B, C, D patru puncte coliniare, în această ordine şi (AB)≡(CD). Fie M mijlocul lui (AB), P mijlocul lui (BC) şi Q∈(AD) astfel încât (MP)≡(PQ). Arătaţi că (CQ)≡(DQ).



Pe o dreaptă d se aleg 4 puncte A, B, C, D în această ordine. Ştiind că lungimile segmentelor [AB], [BC] şi [CD] sunt exprimate în cm prin trei numere naturale consecutive şi AC=43 cm, calculaţi lungimile segmentelor [CD] şi [AD].



Dacă M este mijlocul lui (BC) astfel încât BM=(3x + 2) cm şi CM=(x+ 6) cm, atunci calculate lungimea lui [BC].



Fie A, B, C, D puncte coliniare şi AB=12 cm, AB=BC, C mijlocul segmentului BD. Să se afle segmentele AC, AD şi distanța dintre mijlocul segmentului AB şi CD.



Se dă figura: [image]



Stiind că AB=4 cm. CD=8 cm, AE=24 cm, să se afle lungimile segmentelor BC, BD, BE şi distanța dintre mijlocul segmentelor BC şi DE.



Se dau punctele coliniare A, B şi C. Fie M mijlocul segmentului AB; AM=8 cm. Să se afle segmentele AC şi MC, precum şi distanța de la mijlocul segmentului BC la M.



Se dă figura ȋn care AE=36 cm; [AB]=[BC]; [CD]=[DE]; şi [CD]=10cm

[image]



Să se afle lungimile segmentelor AB, BD, BE. Să se afle mijlocul segmentului BC şi BE.



Să se deseneze punctele A, B, C, D, E coliniare ȋn această ordine astfel ȋncât AB=2cm, AC=7 cm, BD=8 cm, BE=12 cm. Să se afle lungimile segmentelor BC, DE, CD, CE, AD şi AE.



Să se deseneze punctele A, B, C, D, E coliniare in aceasta ordine cu AB= 2cm, BC= 4 cm, CD= 6 cm. Sa se afle lungimea segmentului AE stiind ca mijlocul segmentului AE se afla la 10 cm. de punctul A.



Dacă M este mijlocul segmentului [AB], aflaţi lungimile segmentelor: [AM] şi [MB], ştiind ca AB = 8 cm; [AM] şi [AB], ştiind ca BM = 7 cm.



Fie o dreaptă d şi punctele A,B şi C∈d în această ordine. Ştiind că: AB = 2 cm şi BC = 6 cm, aflaţi lungimea segmentului [AC]; BC = 4 cm şi AC = 10 cm, aflaţi lungimea segmentului [AB].



Pe o dreaptă se consideră punctele A, B, C, D astfel încât [CD]Ì [AB] şi [AC] ≡ [BD]; arătaţi că segmentele [AB] şi [CD] au acelaşi mijloc. Dacă se colorează punctele dreptei cu două culori, arătaţi că există 3 puncte de aceeaşi culoare astfel încât unul dintre ele este mijlocul segmentului determinat de celelalte două. 



Se consideră punctele coliniare A, O, B în această ordine. De aceeaşi parte a dreptei AB considerăm punctele C şi D astfel încât OC^OD şi semidreapta OC este inclusă în interiorul unghiului AOD. Fie OE, OF, OG, OH respectiv bisectoarele unghiurilor AOC, COD, BOD şi COB. Arătaţi că OEOH. Ştiind că măsurile unghiurilor EOF şi FOG sunt direct proporţionale cu numerele 4 şi 5, să se afle măsurile unghiurilor AOC şi BOD .  



Fie punctele A, B, C, D coliniare în această ordine şi M, N, P, Q mijloacele segmentelor [AB], [CD], [AC], [BD]. Să se demonstreze că:

  1. [MP] ≡ [NQ].

  2. [PN] ≡ [MQ]



Se dau punctele A, B, C, D coliniare (în această ordine), M mijlocul segmentului (AB), N mijlocul segmentului (BM), P mijlocul segmentului (CD). Ştiind că AB=16cm, BC=2cm, CD=4cm, arătaţi că:

  1. (NC)≡(BD).

  2. (NP)≡(AM).

  3. (MP)≡(AN).



Se dau semidreptele [OA, [OB, [OC şi [OD în această ordine, unde [OA şi [OD sunt semidrepte opuse, cu m(∠BOC)=2·m(∠AOB) şi m(∠COD)=2·m(∠AOC).

  1. Aflaţi măsurile unghiurilor ∠AOB, ∠BOC, ∠COD

  2. Aflaţi m(∠MON), unde [OM este bisectoarea ∠COD şi [ON este bisectoarea ∠BOC.

  3. Dacă [OP este bisectoarea ∠NOB, arătaţi că ∠MOP este drept.



Se consideră punctele coliniare A, B şi C astfel încât [image] şi AC=40cm. Fie M şi P mijloacele segmentelor AB, respectiv BC. Aflaţi lungimile segmentelor AB, BC şi valoarea raportului [image].



Se dau semidreptele [OA, [OB, [OC, [OD astfel incat [OB şi [OC sunt interioare unghiurilor AOC şi respectiv BOD şi [OM, [ON, [OP sunt bisectoarele unghiurilor AOB, BOC şi respectiv COD. (Punctele B, C, D sunt de aceeasi parte a dreptei OA).

  1. Arătați că m(∠AOC)+m(∠AOD)=m(∠AOD)+m(∠BOC).

  2. Dacă ∠AOB ≡∠COD arătați că ∠AOC ≡ ∠BOD.

  3. Dacă [ON este şi bisectoarea unghiului MOP, dovediți că ∠AOB≡∠COD.



Fie A, B, C, D, E, F, G puncte coliniare în această ordine, astfel încât [AB]≡[BC] şi [CD] ≡ [DE] ≡ [EF] ≡ [FG] Ştiind că AG=32cm:

  1. Calculaţi lungimea segmentului [BE]

  2. Dacă C este mijlocul segmentului [BE], aflaţi lungimea lui [AF].



Se consideră în plan punctele distincte A, B, C, D, E, M, N încât D este mijlocul segmentelor [AB] şi [CM] iar E este mijlocul segmentelor [AC] şi [BN].

  1. Demonstraţi că [MA] ≡ [AN];

  1. Demonstraţi că, M, A şi N sunt puncte coliniare;

  2. Dacă P este intersecţia dreptelor MB şi NC, demonstraţi că B este mijlocul segmentului [MP], respectiv C este mijlocul segmentului [NP].



Fie patru puncte necoplanare A, B, C, D. Punctele M, N, P, Q sunt mijloacele segmentelor [AB], [BC], [CD], respectiv [AD] şi AC=12 cm.

  1. Calculati lungimea segmentului MN.

  2. Demonstrati ca MNPQ este paralelogram.



Fie AB şi CD două drepte concurente ABCD = {O}, Fie [OP bisectoarea unghiului AOC, [OT bisectoarea unghiului POB şi [OR bisectoarea unghiului TOD. Dacă m(∠POR) = 1400 aflaţi m(∠AOC) şi m(∠AOD



Pe o dreaptă se iau punctele A, B, C, D în această ordine. Ştiind că mărimile AB + BC, BC + CD, CD + AB sunt direct proporţionale cu numerele 4, 6, 8 şi lungimea segmentului AD = 360 cm aflaţi distanţa de la mijlocul segmentului AB la mijlocul segmentului CD.



2006 puncte distincte au fost fixate pe mai multe segmente deschise şi disjuncte obţinându-se 2198 de segmente. Câte segmente au fost la început?



Se consideră punctele A, B, P, astfel încât PAB şi AB = 10 cm.

  1. Stabiliţi poziţia punctului P faţă de capetele segmentului [AB], dacă [image].

  2. Dacă M este mijlocul segmentului [AP] şi N este mijlocul segmentului [BP], aflaţi lungimea segmentului [MN].



Se dau două segmentele congruente, (AB) ≡ (DC), astfel încât: ABDC = { O }; 3m(∠AOC) = 2m(∠BOC) ; 2OB = 3OA şi[image][image]OD = [image]OC .

  1. Demonstraţi că triunghiurile AOC şi DOB sunt congruente;

  2. Calculaţi m(∠AOC) şi m(∠COB).



Pe o dreaptă d se consideră punctele distincte A, B, C, D în această ordine. Fie E mijlocul lui (AB), P mijlocul lui (BC), Q mijlocul lui (EP). Dacă AP = 60 cm, lungimea lui (EP) este 75% din lungimea lui (BD), iar lungimile lui (BP) şi (CD) sunt direct proporţionale cu 3 şi 2, arătaţi că:

  1. Punctele Q şi B coincide

  2. EB=20 cm

  3. AD=[image] cm.



Lungimea segmentului [AB] este 2a cm, M este un punct interior al segmentului [AB], P şi Q sunt mijloacele segmentelor [AM] respectiv [BM]. Calculaţi lungimea segmentului [PQ]. 



Semidreptele [OA, [OB, [OC, [OD şi [OE ȋndeplinesc simultan condițiile: m(∠AOE) = 3m(∠AOB) ; unghiurile ∠EOD şi ∠DOC sunt suplementare, iar ∠AOB şi ∠DOC complementare şi [OC este bisectoarea unghiului BOD. Se cer :

  1. Dacă ∠EOD şi ∠DOC sunt adiacente atunci determinati masura ∠AOB.

  2. Dacă [OE este ȋn interiorul unghiului ∠AOC atunci arătați că [OE este bisectoarea lui ∠BOC.



Pe o dreaptă se consideră punctele A şi B, iar de o parte şi de alta a dreptei AB se consideră punctele M şi N astfel încât ∠BAM ≡ ∠ABN şi [AM] ≡ [BN]. Dacă O este mijlocul lui [AB] demonstraţi că:

  1. [OM] ≡ [ON];

  2. Punctele M, O şi N sunt coliniare.



Într-un plan se află punctele O, A, B, C, D, E, F astfel încât [OB este bisectoarea ∠AOC, [OE este bisectoarea ∠COF, [OC este bisectoarea ∠BOD, [OD este bisectoarea ∠COE. Se mai ştie că OB şi OE sunt perpendiculare.

  1. Să se demonstreze că punctele A, O, F sunt coliniare;

  2. Deduceţi măsurile ∠AOC şi ∠COF;

  3. Să se demonstreze că DO este perpendiculară pe dreapta AF.



Fie B∈(AC) şi D, E două puncte de o parte şi de alta a dreptei AC astfel încât triunghiurile ABD şi BCE să fie echilaterale. Considerăm S∈(AB), T∈(BC) astfel încât m(∠DSB) = m(∠ETC) = 900 şi DSEC = {P} ETAD ={F} Dacă P, B, F, sunt coliniare şi D, B, E, sunt coliniare, arătaţi că AD = BC.



Punctul M este mijlocul segmentului (AB) şi punctul B este mijlocul segmentului (MN). Determinati valoarea de adevar a urmatoarelor propozitii:

  1. [image];

  2. [image]



Punctul M este mijlocul segmentului (AB), C∈(AM) iar D este mijlocul segmentului (BC).

  1. Să se arate că D∈(MB) .

  2. Ştiind că CM = 3 cm şi AB = 30 cm, să se calculeze lungimea segmentului (MD) .



Fie A, B, şi M trei puncte coliniare astfel încât B este situat între A şi M. Dacă O este mijlocul lui [AB] arătaţi că 2·OM = MA + MB.



Pe dreapta OM luăm, în acelaşi sens, punctele: A1 de două ori mai depărtat de O decât M, A2 de trei ori mai depărtat de O decât M, A3 de patru ori mai depărtat de O decât M etc. Aflaţi lungimea segmentului [OM], ştiind că lungimea lui [OM] este număr natural şi[image].



Fie semidreptele [OA , [OX , [OB , [OC , [OY şi [OD în această ordine, astfel încât m(AOD ) = 16m(BOC ), m(BOX )= 8m(AOX ), m(YOC ) = 8m(DOY ).

  1. Să se determine raportul [image].

  2. Dacă măsurile unghiurilor AOX , BOY şi ∠YOD sunt exprimate prin numere prime , să se determine m(AOC ).



În planul α se consideră punctele A, B, C şi D, cu ‌‌‌‌‌||AB|| = ||CD|| = x, ||BC|| =

||A|| = y şi m(∠DAB) = 450. Fie O∈[AC] şi P un punct al perpendicularei ridicate din O

pe planul (ABCD) . Proiecţiile lui P pe laturile AB, BC, CD şi DA se notează cu E, F, G şi H, respectiv Să se arate că HE ||GF. Să se calculeze aria patrulaterului EFGH.  



Fie A, B, C şiD puncte coliniare în această ordine. Dacă 2AB + AD = 3AC şi BD = 351, calculaţi BC şi CD.



Punctele A, B, C, D sunt situate pe o dreaptă d în ordinea dată. Este adevarată egalitatea AB × CD + AD × BC = AC × BD?



Fie un segment [AB] şi un plan α astfel încât [AB]∩α = Ø şi [AB] neparalel cuα. Proiectia lui [AB] pe α este [MN].

  1. Determinaţi poziţia punctului Cα, pentru care AC + BC este minimă.

  2. Dacă AB = 50 cm, AM = 10 cm, BN = 40 cm, determinaţi d(P, MN) astfel încât P∈ α şi triunghiul ABP echilateral.



Fie M1 mijlocul segmentului [AB], M2 mijlocul segmentului [AM1], M3 mijlocul segmentului [AM2],..., Mn mijlocul segmentului [AMn-1]. Dacă AMn = 1, calculaţi S=AMn+AMn-1+...+AM3+AM2+AM1. Aflaţi n dacă S = 127.



Dreptele AB şi CD sunt concurente în punctul O, O∈(AB), O∈ (CD) iar m(∠AOC)=2m(∠BOC). Fie OE^AB şi (OF bisectoarea unghiului ∠BOD. Să se calculeze măsura unghiului ∠EOF. 



Se consideră punctele A1, A2,…,An coliniare, în această ordine, astfel încât A1A2=1 cm, A2A3=2 cm,…, An-1An = n – 1 cm., n fiind un număr natural, n > 1.

  1. Calculaţi lungimea segmentului [A1A24]

  2. Să se determine numărul natural n astfel încât lungimea segmentului [A7An] să fie de 279 cm.

  3. Determinaţi distanţa dintre mijloacele segmentelor [A1A4] şi [A21A24].



Fie punctele coliniare A, B, C, D (în această ordine) situate pe dreapta d, astfel încât [AB] ≡ [CD]. De aceeaşi parte a dreptei d se consideră punctele E şi F astfel încât [BE] ≡ [CF], ∠EBC ≡ ∠FBC şi [BF Ì Int. ∠EBC. Să se demonstreze că:

  1. [AE] ≡ [DF]

  2. AFC ≡ ∠DEB



Punctele A, B, C, D, E sunt coliniare şi B este mijlocul segmentului (AC), C este



mijlocul segmentului (AD) iar D este mijlocul segmentului (AE).

  1. Arătaţi că: AB + 2 × BC+3 × CD + 4 × DE = 3 × AC + 2 × BD + CE + BE.

  2. Dacă CEBD = 24 cm, calculaţi lungimile segmentelor AB, CD şi AE



Dacă punctele A, B, C sunt coliniare astfel încât AB = 7 cm, AC = 13 cm, BC = 6 cm, determinaţi lungimea segmentului OB, ştiind că O aparţine dreptei AB şi OM = 3 cm, M fiind mijlocul segmentului AC.