Teorema Lui Ceva



Fie D un punct situat în interiorul triunghiului ABC. AD∩BC={ M }, BD∩AC={ N }, CD∩AB={ P }. Demonstraţi că: [image]. ( Teorema lui Ceva ) 

Definiţie: Numim ceviană orice dreaptă care trece prin vârful unui triunghi şi intersectează latura opusă. 

Teorema lui Ceva: Dacă AA1, BB1, CC1 sunt trei ceviene concurente în triunghiul ABC, atunci [image][image].

În triunghiul ABC fie P∊ ( AB ), M∊ ( BC ), N∊ ( AC ). Dacă [image]

demonstraţi că dreptele AM, BN, CP sunt concurente. ( Reciproca teoremei lui Ceva )

Reciproca teoremei lui Ceva: Dacă AA1, BB1, CC1 sunt trei ceviene în triunghiul ABC şi [image], atunci AA1, BB1, CC1 sunt concurente.



În triunghiul ABC notăm cu M mijlocul laturii BC. Bisectoarea unghiului AMB intersectează latura [AB] în punctul P, iar bisectoarea unghiului AMC intersectează latura [AC] în punctul N. Demonstraţi că AM, BN şi CP sunt concurente.



Se dă triunghiul ABC şi notăm cu P, M, şi N punctele de tangenţă ale laturilor [AB], [ BC ] şi [AC] cu cercul înscris în triunghi. Demonstraţi că dreptele AM, BN şi CP sunt concurente.



Fie ABC un triunghi oarecare şi M∊[AB], N∊[AC] astfel încât [image]. Fie {P}= BN∩CM. Să se determine valoarea raportului dintre ariile triunghiurilor BPC şi BAC.



Se consideră triunghiul ABC, D un punct fix pe latura BC şi M un punct pe AD. Dreptele CM şi AB se intersectează în punctul B1, iar dreptele BM şi AC se intersectează în punctul C1. Arătaţi că:

  1. B1C1 || BC dacă şi numai dacă D este mijlocul segmentului BC;

  2. Dacă D nu este mijlocul lui BC şi M este variabil pe dreapta AD, atunci dreapta B1C1 trece printr-un punct fix.



În triunghiul ascuţitunghic ABC construim CD⊥AB, D∊(AB). Dacă [image], atunci demonstraţi că înălţimea CD, mediana AM, M∊ (BC) şi bisectoarea BE, E∊ (AC ) sunt concurente.



Să se arate cu ajutorul reciprocei teoremei lui Ceva concurenţa medianelor şi a înălţimilor unui triunghi.



În triunghiul ABC mediana AD, A∊(BC) şi bisrctoarea [BE, E∊(AC), se intersectează în M. Dreapta CM întersectează latura (AB) în T. Să se arate că: [image].



În triunghiul ABC se duc înălţimile AD, BE, CT şimedianele AF, BL, CK. Fie AP simetrica înălţimii AD faţă de mediana AF, BQ simetrica înălţimii BE faţă de mediana BL şi CR simetrica înălţimii CT faşă de mediana CK. Să se arate că dreptele AP, BQ, CR sunt concurente.



Pe laturile (BC), (CA), (AB) ale unui triunghi ABC se consideră punczele M, N, P astfel încât dreptele AM, BN, CP să fie concurente. Dacă punctele D, E, F sunt simetricele punctelor M, N, P faşî de mijloacele laturilor (BC), (CA), (AB), demonstraţi că dreptele AD, BE, CF sunt concurente.



Pe laturile (BC), (CA), (AB) ale unui triunghi ABC ascuţitunghic se consideră punctele E,M,T astfel ca punctele D,E,F să fie vârfurile unui triunghi echilateral, unde

{D}= AE∩BM, {E}= BM∩CT, {F}= CT∩AE. Să se arate că are loc relaţia:

[image]



Se consideră triunghiul dreptunghic ABC. Pe cateta AC se ridică în C perpendiculara CM, cu CM = AC, iar pe cateta AB se ridică perpendiculara BP cu BP = AB. Să se arate că dreptele BM şi CP se întâlnesc pe înălţimea AD.



Se consideră triunghiul ABC în care P este intersecţia dreptelor AL, BK, CT, unde L∊(BC), K∊(AC) şi T∊(AB). Fie M un punct oarecare pe AL şi {N}= BCMT, {Q}=BC∩MK. Paralele duse prin N şi Q la AL întâlnesc pe AB şi AC respectiv în R şi S. Să se arate că AL, BS şi CR sunt concurente .