Teorema Lui Menelaus



Teorema lui Menelaus sau teorema transversalei: Dacă o dreaptă d intersectează laturile

triunghiului ABC sau prelungirile acestora în punctele M (AB), N (AC) şi PBC, atunci

[image]

Reciproca teoremei lui Menelaus: Dacă M (AB), N (AC) şi PBC astfel încât

[image], atunci M,N şi P sunt coliniare.

Observaţie: Demonstraţia se face prin reducere la absurd, considerând că MNBC={P΄}.

Se va demonstra că P = P΄



În triunghiul ABC construim mediana (BD) şi bisectoarea (AE, E∊ (BC). AE∩BD={F}. Demonstraţi

[image].



În triunghiul oarecare ABC se consideră punctele D ∊ (AB), E ∊ (AC) astfel încât [image] Să se demonstreze că mijloacele segmentelor [AB], [DE], [AC] sunt puncte coliniare. 



Fie D un punct oarecare pe latura [CB] a triunghiului ABC. Bisectoarea unghiului ∠ADC intersectează AC în E, iar bisectoarea ∠ADB intersectează AB in F. Dacă {P} = BE∩CF, să se demonstreze că punctele A, D, P sunt coliniare. 



În triunghiul ABC neisoscel, semidreptele [AD, [BE, [CF sunt bisectoare exterioare, D∊BC, E∊AC, F∊AB. Să se arate că D, E, F sunt coliniare.



Fie triunghiul ABC, D simetricul centrului de greutate faţă de mijlocul segmentului [AB] şi E simetricul lui C în raport cu B. Să se arate că punctele A, D, E sunt coliniare.