Teorema Lui Thales



Prin vârful A al rombului ABCD se duce o dreaptă care intersectează dreptele BC şi CD în respectiv punctele M şi N. Arătaţi că:

  1. [image];

  2. [image].



Fie unghiul propriu xOy şi A, B∈(Ox, OB>OA. Prin A şi B se duc două drepte paralele care taie pe (Oy în C şi D. Paralela la BC, construită prin D, intersectează (Ox în E. Demonstraţi că [image].



Se consideră dreptunghiul ABCD şi o dreaptă ce trece prin D şi intersectează (AC) în M, (AB) în N şi CB în P.

  1. Arătaţi că [image](media proporţională/ geometrică).

  2. Determinaţi poziţia punctului N pe (AB) astfel încât [image] şi calculaţi lungimea segmentului [MN] dacă DM=8cm.



Se consideră trapezul dreptunghic ABCD, [image], AD<BC, m(∠A)=90o. Fie P, M, N mijloacele segmentelor (AD), (AC), respectiv (BC) şi AN∩BM={E }, DM∩CP={F}. Să se arate că:

  1. [image];

  2. [image].



Fie ABCD un patrulater convex cu AC∩BD={O} şi M, P, Q, S, respectiv mijloacele segmentelor (AB), (BC), (CD), (AD). Considerăm apoi T mijlocul segmentului AO, BT∩MO={E} şi DT∩OS={F}. Arătaţi că EPQF este trapez.



În triunghiul ABC, fie P∈(AB) şi EÎ (AC), astfel încât PE||BC şi [image]. Considerăm apoi M, mijlocul lui (AC) şi PE∩BM={S}. Arătaţi că S este centrul de greutate al triunghiului ABC.



În triunghiul ABC, EF este o paralelă la latura BC. Se duc EG||AC şi FH||AB (G, H∈[BC]). Prin G şi H se duc paralele respectiv la AB şi AC obţinându-se punctele N şi M. Să se arate că MN şi EF sunt paralele.



Fie paralelogramul ABCD şi punctul T exterior paralelogramului. Dacă TB∩AD={M}, TB∩CD={N}, TD∩AB={P} şi TD∩BC={Q} demonstraţi că MP şi NQ sunt paralele.



În triunghiul ABC, D este mijlocul laturii (BC), E∈(AB). Dacă AD∩CE={F} să se arate că [image]



Considerăm triunghiul ABC şi punctele M∈(AB), N∈(AC), iar BN∩CM={E}. Dacă MA=2MB şi 3MC=5EC, demonstraţi că MN şi BC sunt paralele.