Triunghiuri Asemenea



Fie ABC, M∈[AB], MN||BC, N∈[AC].

  1. Stiind că AM=3 cm; MN=6 cm; AB=10 cm, AN=5 cm , determinaţi MB; AN; NC; BC.

  2. Daca MN=5 cm; BC=15 cm; AC=12 cm; AB=9 cm, aflaţi AM; MB; AN; NC.

  3. Daca MN=1 cm; BC=4 cm; NC=2 cm; AM=8 cm, aflaţi AB; AC; AN; MB.



Fie triunghiul ABC oarecare, E∈(AB), F∈(AC). Verificati dacă EF || BC stiind că:

  1. AB=6 cm, AC=9 cm, AE=2 cm, AF=3 cm

  2. AB=16 cm , AE=12 cm , AF=6 cm , FC=4 cm.



Determinaţi dacă următoarele perechi de figurii sunt asemenea sau nu:

[image][image]



Fie ABCDEF din figura de mai jos. Determinaţi x si y

[image]



Poligoanele de mai jos sunt asemenea. Pentru fiecare pereche determinati elementele mentionate:

[image] GH=?

[image]ST=? SU=?

[image]WT=?

[image]TS=? SP=?



Triunghiul ABC are laturile AB=10 cm, BC=20 cm, AC=15 cm. Pe latura AB se ia punctual E astfel incat BE= 4 cm. Prin E se duc EF || AC, F∈(BC) si EG || BC, G∈(AC), iar prin F se duc FH || AB, H∈(AC). Să se afle lungimile segmentelor AH, HG, GC, EF, FH, EG.



Determinaţi dacă următoarele perechi de poligoane sunt asemenea:

[image]

[image]

[image]

[image]



Fie ABCD trapez cu bazele AB||CD, AB=36 cm, CD=12 cm, AD=10 cm, BC=16 cm. Dacă ADBC={M}. Calculati perimetrul triunghiului MDC.



In patrulaterul ABCD, M∈(AB). Dacă MN || AC, N∈(BC) si MP ||AD, P∈(BD), atunci NP||CD.



Fie ABCDEF avand raportul de asemanare [image]. Daca AB=4; AC=5; BC=6, aflaţi lungimile laturilor DDEF. Calculaţi [image].



In ABC AB=20 cm; BC=25 cm; AC=30 cm. Fie DBC astfel ȋncât [image] si paralelele DE la AB, E∈(AC) iar DF la AC, F∈(AB). Aflaţi perimetrul patrulaterului AFDE.



In triunghiul ABC, punctele M, N şi P sunt mijloacele laturilor [AB], [BC] şi respectiv [AC].

  1. Dacă perimetrul triunghiului ABC este egal cu 24 cm , arătaţi că perimetrul triunghiului MNP este egal cu 12 cm.

  2. Dacă perimetrul triunghiului ABC este egal cu 24 cm iar AC = 8 cm, arătaţi că perimetrul patrulaterului BNPM este egal cu 16 cm.



Fie trapezul ABCD cu AB||CD, ACBD={O}. Aflaţi AO; OB; CO; OD stiind că:

  1. AB=20 cm; CD=10 cm; AC=21 cm; BD=12 cm;

  2. AB=2 cm; CD=1 cm; AC=15 cm; BD=9 cm.



In figura de mai jos, dreptele MN si QR sunt paralele.

[image]

  1. Dacă PN=3; PQ=6; MN=2, aflaţi QR.

  2. Dacă QR=8; PR=3; PM= 2 , calculaţi MN.



Fie ABCD paralelogram cu AB=20 cm, DC=30 cm, M∈(AC) astfel incat [image]. Prin M se duc MN||AD, N∈(DC) si MP||DC, P∈(AD). Sa se calculeze perimetrul paralelogramului MNDP.



Prin M∈(BC) a triunghiului ABC se duc Paralele la AB si la AC. Aceste paralele intersecteaza AB si AC in P, respective N. Aratati că [image]



Fie M un punct pe diagonala AC a unui patrulater convex ABCD. Se duc MP||AB, P∈(BC) si MQ||CD, Q∈(AD). Să se arate că [image]constant.



Fie triunghiul ABC, se duc printr-un punct oarecare P al bazei BC o paralela la mediama AD care intersecteaza dreptele AB si AC in N si M. Să se arate că PM+PN =constant.



Fie triunghiul MNP cu E∈(MN), F∈(MB) si EF||NP. Stiind că [image] si MF=6, aflaţi FP si MP.



In triunghiul ABC, D∈ (AB). Dacă DE || BC, E∈(AC) si EM || AB, M∈(BC), atunci [image]



Demonstraţi că raportul inalţimi a doua triunghiuri asemenea este egal cu raportul de asemanare al triunghiurilor. 



In figura de mai jos ABCD este un trapez ∈n care MN este linia mijlocie intersectată de diagonalele AC şi BD ∈n punctele P respectiv Q.

[image]



Dacă AB = 10 cm şi CD = 4 cm, să se calculeze:

  1. Lungimea lui MN.

  2. Lungimea lui PQ.

  3. Să se arate că perimetrul trapezului ABNM este egal cu suma dintre semiperimetrul trapezului ABCD şi lungimea lui AB.



Fie ABC un triunghi isoscel cu AB = AC. O dreaptă perpendiculară pe BC intersectează (BC), (CA) şi AB ∈n D, E, F. Dacă M este mijlocul segmentului (BC), demonstraţi că:

  1. AE = AF

  2. AE·BC = 2AB·DM



Bisectoarele unghiurilor A şi D ale paralelogramului ABCD intersectează diagonalele (BD) şi (AC) in M, respectiv N. Demonstraţi că MN||AD.



In figura de mai jos aveţi triunghiul ABC ∈n care PQ, MN şi RS sunt paralele cu BC. AM = 4 cm, MP = 6 cm, PB = 2 cm, NQ = 9 cm şi AS = 5 cm.

[image]

  1. Aflaţi lungimea lui AN.

  2. Aflaţi lungimea lui AC.

  3. Aflaţi lungimea lui AR.



In triunghiul isoscel ABC, AB = AC = b şi BC = a. Fie (BE bisectoarea unghiului ∠ABC, E∈(AC) şi EF||BC, F∈(AB). Calculaţi lungimea segmentului [EF].  



O secantă intersectează laturile unui unghi XOY de măsură 1200 in punctele A şi B, iar bisectoarea acestui unghi in punctul C. Demonstraţi că [image]



In triunghiul isoscel ABC cu [AB]≡[AC], fie D mijlocul segmentului [BC], E simetricul lui D faţă de AC şi F proiecţia lui B pe [AC]. Dreapta EF intersectează latura [AB] in G. Demonstraţi că triunghiurile ABC şi BGD sunt asemenea.   



Se dă un triunghi ABC cu m(∠BAC)=900 şi AD^BC, D∈[BC]. Bisectoarea unghiului ∠ABC intersectează AD in E, iar bisectoarea unghiului ∠DAC intersectează (DC) in F. Să se arate că AC = 3EF daca si numai daca m(∠ABC) = 600.



In figura de mai jos aveţi triunghiul ABC ∈n care AM şi AN sunt mediane; BC = 12 cm, AG = 6 cm şi AN = 7 cm.

[image]

  1. Aflaţi perimetrul triunghiului AMC.

  2. Dacă punctele P şi R sunt mijloacele segmentelor [AG] şi respectiv [BG], stabiliţi natura patrulaterului MNPR.



Pe laturile (AB) şi (AC) ale triunghiului ABC se iau punctele M şi N astfel I;ncât BM = CN. Să se arate că PQ || AD, unde P şi Q sunt mijloacele segmentelor (MN), respectiv (BC), iar (AD este bisectoarea unghiului ∠BAC, D∈(BC).



Paralela la bazele unui trapez dusă prin punctul de intersecţie al diagonalelor intersectează laturile neparalele In M şi P. Să se calculeze lungimea segmentului MP In funcţie de bazele trapezului.



In figura de mai jos, ABCD este un dreptunghi, BE⊥AC, E∈AC, BE∩CD={F}, BE∩AD={G}.

[image]

  1. Găsiţi o pereche de triunghiuri asemenea şi justificaţi asemănarea acestora.

  2. Dacă [image]cm şi[image]cm, să se arate că [image]cm.

  3. Dacă [image]cm şi[image]cm, să se arate că [image]cm.

  4. Să se demonstreze că AF⊥CG.