Triunghiul



ABC este un triunghi, iar [AD] este mediana. Se stie ca AB=AC. Stabiliţi dacă [AD este bisectoarea unghiului BAC.



[AH] este inalţime in triunghiul ABC unde H∈(BC). [HM este bisectoarea unghiului <AHC unde M∈(AC). [HN este opusă lui [HM, unde N∈(AB. Aflaţi măsura unghiului NHC.



ABC este un triunghi, iar [AD] este inalţime, D∈(BC). Fie M astfel incat D∈(AM) şi AD=DM. ABC ≡ MBC?



Se dă triunghiul ABC, M∈(AB), N∈(AC), iar BP=PC, P fiind intersecţia dreptelor BN şi CM. Comparaţi măsurile unghiurilor <PBC şi <PCB.



Triunghiul ABC este isoscel cu baza [BC]. M∈(AB), N∈(AB), BN∩CM={P}, [BP] ≡ [PC]. Stabiliţi dacă <ABP ≡ <ACP.



Triunghiul ABC este isoscel cu baza [BC]. N∈(AB), P∈(AC) astfel incat AN=AP iar BP∩NC={O}. Stabiliţi dacă [BO] ≡ [OC].



P este un punct in interiorul triunghiului BAC, iar M∈(AC) şi N∈(AB) astfel incat [BP] ≡ [PC] şi [PN] ≡ [PM]. Stabiliţi natura triunghiului ABC, dacă P∈(BM) şi P∈(CN).



Triunghiurile ABC este un triunghi isoscel cu m(< BAC)=80° şi cu baza [BC], N∈(AB şi P∈(AC astfel incat B∈(AN), C∈(AP) şi BN=CP. [AM este inclusă in interiorul unghiului <BAC, iar m(<BAM)=40°. Stabiliţi dacă AM⊥NP.



Triunghiul ABC este un triunghi dreptunghic in B. [AE este o semidreapta astfel incat <CAB ≡ <EAB şi B∈(EC). Stabiliţi dacă AE=AC.



ABC este un triunghi, M∈(BC), BM=MC=10 cm, m(<BAM)=m(<MAC)=40°, iar perimetru său este de 44 cm. Aflati AB şi AC.



ABC este un triunghi isoscel cu baza [AC]. Punctul M este in asffel incat [BM nu este inclusă in interiorul unghiului <ABC, iar <ABM ≡ <CBM, BM⊥AC?



D este mijlocul laturi BC a triunghiului ABC. E este un punct astfel incat [CA este bisectoarea unghiului <BCE şi [CA este inclusă in mediatoarea lui [DE]. Stabiliţi dacă CE=BC/2.



ABC este un triunghi isoscel. D este mijlocul bazei AB. Punctele C, D şi E sant coliniare astfel incat D∈(CE). Aflaţi m(<EDB).



Fie ABC un triunghi. Punctele D şi E aparţin laturii [AC] (ordinea este C, D, E şi A) astfel incat BD⊥CA, CD=DE=2 şi AC=9. Dacă BC=5 demostraţi că triunghiul ABE este isoscel.



ABC este un triunghi isoscel unde <ABC ≡ <ACB. [AD este mediana corespunzatoare bazei, iar M este un punct ce nu aparţine interiorului unghiului BAC, M∈(DA. Stabiliţi natura triunghiului MDC.



Pe o dreaptă se conşidera punctele A, B, C, D, şi E in aceasta ordine cu proprietatea că AB=BC=CD=DE, [MC] este mediana triunghiului MBD, iar [MC] este mediatoarea segmentului [AE]. Aratati că <MBA ≡ <MDE.



Triunghiul EFB are [EF] ≡[EB]. D∈(FB) astfel incat aparţine şi mediatoarei segmentului [FB]. Dacă m(<FEB)=80° aflaţi măsura unghiului <DEB.



Triunghiul ABC este isoscel cu AB=AC. M aparţine mediatoarei bazei şi M∈[BC]. Aflaţi m(<AMF) stiind că m(<FMC)=50° şi F∈(AC).



Fie triunghiul DEF echilateral şi A, B, C sunt puncte ce aparţin interiorului său astfel incat FCE ≡ DAF ≡ EBD şi A∈(FC), B∈(DA), C∈(EB). Ce fel de triunghi este ABC?



ABC este un triunghi echilateral iar bisectoarele unghiurilor <BAC, <ABC şi <CAB intersectează laturile opuse in A, B’şi respectiv C. Arataţi că AB=BC=CA=A’B=BC’=CA.



D şi E sunt mijloacele laturilor AC şi respectiv BC ale triunghiului ABC. Dacă <BAE ≡<CAE, <ABD ≡<CBD şi AE∩BD={O} atunci AOB este triunghi isoscel.



Se dă triunghiul echilateral ABC. N∈(BC), iar M nu aparţine interiorului unghiului <BAC, astfel incat m(<BAM)=180°-m(<BAN). Ce fel de triunghi este triunghiul MBN dacă m(<NAC)=m(<BAC)/2?



ABC este un triunghi echilateral D∈(BC) astfel incat m(<ADB)=90°, iar DC=3 cm. Calculaţi perimetrul triunghiului ABC.



Dacă intr-un triunghi mediatoarele a două laturi include medianele corespunzatoare laturilor respective, atunci demostraţi că triunghiul este echilateral.



Fie triunghiul isoscel ABC cu m(<A)=120° şi M mijlocul laturii (AB). Perpendiculara din M pe [BC] intersectează [AC] în D iar [AE] ⊥ [BC], E∈ (BC). Arătaţi că triunghiul DAM este echilateral. Patrulaterul DAEM este romb. CD=3AD.



Fie G centrul de greutate al triunghiului ABC. Arătaţi că AABG=AACG=ABCG=[image]AABC.

In MAN şi EFG avem : m(<A) = 40° , m(<N) = 60°, AN = 1,5 cm , m(<E)= 60°, EF = 15 mm şi m(<F ) = 40°. Care din relaţiile de mai jos sunt adevarata : ANM ≡ EGF ANM ≡ FGE; ANM ≡ FEG; ANM ≡ EFG .



In triunghiul ABC, [BD] este mediana, D∈(AC). Fie [CE] || [BD], unde E∈ (AB). Demonstraţi că B este mijlocul segmentului [ AE].



Fie M, N, P mijloacele laturilor [AB], [BC], [AC] ale unui triunghi ABC. Fie D şi E astfel incat [MD] ≡ [MC], M∈ (DC), [PE] ≡ [PN], P∈(NE). Să se demonstreze că punctele A, D, E sunt coliniare.



Fie ABC un triunghi. Prin mijloacele M, N ale laturilor [AB], respectiv [AC] se duc două semidrepte ce se intersecteaza pe latura [BC] intr-un punct oarecare A’. Arataţi că dreptele [A’M], [A’N] determină pe paralela dusă prin A la latura BC un segment congruent cu [BC]. In ce caz cele doua segmente aparţin unor triunghiuri congruente?



In exteriorul triunghiului isoscel ABC (AB)=(AC) se construiesc triunghiurile dreptunghic isoscele ABD şi ACE, m(<D)=m(<E) = 90°. Arătaţi că varful A, mijloacele segmentelor [DE] şi [BC] şi punctul M de intersectie a dreptelor [DB] şi [CE] sunt patru puncte coliniare. Arătaţi ca [DE] || [BC].



În triunghiul ABC punctele D, E şi F sunt mijloacele laturilor [AB], [BC] şi respectiv [AC]. Arătaţi că BEFD este un paralelogram.



Fie D şi E mijloacele laturilor [AB] Şi [AC] ale triunghiului ABC, iar M un punct mobil în interiorul triunghiului . Punctul N este simetricul lui M faţă de D, iar P simetricul lui M faţă de E. Să se arate că BN || CP. NP este constanta. [BP] ≡ [CN] dacă M se află pe înălţimea din A a triunghiului ABC.



Fie ABC un triunghi echilateral şi [AD] înălţime în triunghi. Se conşideră punctul E astfel încât triunghiul ADE să fie echilateral. Notăm [AC] ∩ [DE] = {P} şi S mijlocul laturii [AC]. Precizaţi natura patrulaterului convex SEDB.



Baza (BC) a triunghiului ABC esre inclusă in planul α ,varful A este exterior lui α, M∈(AB) şi N∈(AC). Stabiliţi pozitia dreptei MN fata de planul α,dacă:

a) M şi N sunt mijloacele segmentelor (AB) şi (AC).

b) MA= 4 cm, AB=10 cm, NC=10 cm şi AC= 15 cm.



In triunghiul dreptunghic ABC, m(<A)=90°, AB=40 cm şi AC=30 cm, are cateta [AB] inclusă intr-un plan α. Pe cateta [AC] se ia M astfel incat [image] şi pe latura BC se ia punctul N astfel incat BN=30 cm. Stabiliţi pozitia dreptei MN fata de planul α şi calculaţi ce procent reprezinta aria triunghiului CMN din aria triunghiului ABC.



In triunghiul ABC bisectoarea unghiului A intersectează [BC] in D. Mediatoarea segmentului [AD] intersectează [AC] in G. Demonstraţi că [GD] || [AB].



Triunghiul ABC, M simetricul lui B fată de C, N simetricul lui C faţă de A, [AB]∩[NM]={P} sa se arate că AP=1/3 AB.



Fie punctele M, N, P pe laturile [BC], [AB] si [AC] să se demonstreze ca [AM] conţine mijlocul segmentului [NP].



In triunghiul ABC dreapta AD, D∈(BC) imparte latura [BC] in două parţi congruente si formează cu dreapta BC unghiul de 90°. Dacă măsura unghiului C este 40°, să se calculeze măsurile unghiurilor triunghiului ABC.



Se dă un triunghi oarecare cu perimetrul de 316 cm. Aflati perimetrul triunghiului obţinut prin unirea mijloacelor laturilor sale.



Fie triunghiul isoscel ABC bu baza [BC], iar <CAD si <BAE unghiuri exterioare triunghiului. Bisectoarea <CAD intersectează in C perpendiculara pe BC in N, iar bisectoarea <BAE intersectează perpendiculara in B pe BC in M. Demonstreaza că BN=CN.