Triunghiul Echilateral



Fie triunghiul DEF echilateral şi A, B, C sunt puncte ce aparţin interiorului său astfel incat FCEDAF≡EBD şi A∊ (FC), B∊ (DA), C∊ (EB). Ce fel de triunghi este ABC?



ABC este un triunghi echilateral iar bisectoarele unghiurilor ∠BAC, ∠ABC şi ∠CAB intersectează laturile opuse in A, B’şi respectiv C. Arataţi că AB=BC=CA=A’B=BC’=CA.



Se dă triunghiul echilateral ABC. N∊ (BC), iar M nu aparţine interiorului unghiului ∠BAC, astfel ȋncât m(∠BAM)=1800-m(∠BAN). Ce fel de triunghi este triunghiul MBN dacă m(∠NAC)=m(∠BAC)/2?



ABC este un triunghi echilateral D∊ (BC) astfel incat m(∠ADB)=900, iar DC=3 cm. Calculaţi perimetrul triunghiului ABC.



Fie ABC un triunghi echilateral şi [AD] înălţime în triunghi. Se conşideră punctul E astfel încât triunghiul ADE să fie echilateral. Notăm [AC] ∩ [DE] = {P} şi S mijlocul laturii [AC]. Precizaţi natura patrulaterului convex SEDB.



In triunghiul echilateral ABC, M∊ (AB), N∊(BC) şi D este mijlocul laturii AC.

  1. Demonstraţi că MN< AN< AC

  2. Dacă m(∠MND) = 900 stabiliţi care din afirmaţiile de mai jos este corectă şi justificaţi răspunsul:

  1. BM< BN.

  2. BM= BN

  3. BM> BN.



Pe laturile [AB] şi [BC] ale triunghiului echilateral ABC se construiesc în afară pătratele ABMN şi BCPQ. Să se arate că:

  1. AQMC şi [AQ] ≡ [MC].

  2. AQMC={E} şi F∊[AC] astfel încât [AF] ≡ [FC], să se arate că punctele B, E, F sunt coliniare.



Se consideră triunghiul echilateral ABC şi triunghiul dreptunghic isoscel ABD (AB=BD=a) ale căror plane formeazăun unghi cu măsura de 60°. ă se calculeze distanţa de la C la dreapta AD 



Fie ABC un triunghi echilateral, iar M mijlocul laturii AC. Paralela prin C la AB intersectează în P perpendiculara dusă din M pe BC , respectiv în Q perpendiculara ridicată în M pe AC.

  1. Demonstraţi că triunghiul MPQ este isoscel.

  2. Dacă AB = 2a cm, MP = b cm, calculaţi perimetrul patrulaterului ABPQ.



Pe laturile (AB) şi (AC) ale triunghiului echilateral ABC se consideră punctele M respectiv N astfel încât AB = 3 ∙AN şi BM=1/3 ∙AC . Fie Q punctul de intersecţie a dreptelor BN şi CM .

  1. Să se demonstreze că MNAC .

  2. Să se calculeze măsura unghiului BQC.



Triunghiul echilateral PMN şi trapezul dreptunghic AMNC, cu m(∠A) = m(∠M) = 900 AC>MN, sunt situate în plane perpendiculare . Se consideră B simetricul punctului A faţă de M iar AB = AC = 2∙ MN.

  1. Să se arate PA2 + PB2 = PC2

  2. Să se calculeze tangenta unghiului plan corespunzător diedrului format de planele (APC) şi (MNP).



Se consideră triunghiul echilateral ABC şi triunghiul dreptunghic isoscel ABD (AB=BD=a) ale căror plane formeazăun unghi cu măsura de 60°. Să se calculeze distanţa de la C la dreapta AD



Fie triunghiul echilateral ABC¸şi punctele P; Q; R pe laturile (AB) (BC) şi (CA) astfel încât [AP]≡[BQ]≡[CR]. Perpendicularele în P, Q, R pe [AB], [BC], [CA] taie dreptele BC, CA, AB în punctele T, M, S. Demonstraţi că triunghiul SMT este echilateral. 



Fie D un punct situat în interiorul triunghiului echilateral ABC astfel încât BDC este un triunghi isoscel cu m(∠BDC) = 800 , iar în interiorul triunghiului BDC considerăm un punct P astfel încât m(∠PBC) =100 şi m(∠PCB) = 300 .

  1. Demonstraţi că patrulaterul ACPD este trapez isoscel.

  2. Dacă O = APCD , arătaţi că BOAC .