Triunghiul Isoscel



Triunghiul DABC este isoscel cu baza [BC]. M ∈ (AB), N∈ (AB), BNCM = {P}, [BP]≡[PC]. Stabiliţi dacă ∠ABP ≡∠ACP.



Triunghiul DABC este isoscel cu baza [BC]. N∈ (AB), P∈(AC) astfel încât AN=AP iar BPNC={O}. Stabiliţi dacă [BO] ≡ [OC].



Triunghiurile DABC este un triunghi isoscel cu m(∠ BAC)=800 şi cu baza [BC], N∈ (AB şi P (AC astfel încât B∈(AN), C∈(AP) şi BN=CP. [AM este inclusă in interiorul unghiului ∠BAC, iar m(∠BAM)=400. Stabiliţi dacă AMNP.



ABC este un triunghi isoscel cu baza [AC]. Punctul M este în asffel încât [BM nu este inclusă în interiorul unghiului ∠ABC, iar ∠ABM ≡∠CBM, BMAC?



ABC este un triunghi isoscel. D este mijlocul bazei AB. Punctele C, D şi E sunt coliniare astfel încât D∈(CE). Aflaţi m(∠EDB).



ABC este un triunghi isoscel unde ∠ABC ≡ ∠ACB. [AD este mediana corespunzătoare bazei, iar M este un punct ce nu aparţine interiorului unghiului BAC, M∈(DA. Stabiliţi natura triunghiului MDC.



Triunghiul DABC este isoscel cu AB=AC. M aparţine mediatoarei bazei şi M∈[BC]. Aflaţi m(∠AMF) ştiind că m(∠FMC)=500 şi F∈(AC).



D şi E sunt mijloacele laturilor AC şi respectiv BC ale triunghiului DABC. Dacă ∠BAE≡∠CAE, ∠ABD≡∠CBD şi AEBD={O} atunci DAOB este triunghi isoscel.



Fie triunghiul isoscel DABC cu m(∠A)=120° şi M mijlocul laturii (AB). Perpendiculara din M pe [BC] intersectează [AC] în D iar [AE]⊥[BC], E∈ (BC). Arătaţi că triunghiul DDAM este echilateral. Patrulaterul DAEM este romb. CD=3AD.



In exteriorul triunghiului isoscel DABC (AB)=(AC) se construiesc triunghiurile dreptunghic isoscele DABD şi DACE, m(∠D)=m(∠E) = 900. Arătaţi că vârful A, mijloacele segmentelor [DE] şi [BC] şi punctul M de intersecţie a dreptelor [DB] şi [CE] sunt patru puncte coliniare. Arătaţi că [DE] || [BC].



Fie ΔABC isoscel cu AB = AC = 26 cm şi D mijlocul segmentului [BC], iar DC = 16 cm.

  1. Calculaţi perimetrul triunghiului ΔABC.

  2. Demonstraţi că DDAB ≡ DDAC şi ADBC.

  3. Fie punctul E∈[AC] astfel încât DE || AB. Calculaţi lungimea segmentului AE.



Fie triunghiul isoscel DABC bu baza [BC], iar ∠CAD şi ∠BAE unghiuri exterioare triunghiului. Bisectoarea ∠CAD intersectează ȋn C perpendiculara pe BC ȋn N, iar bisectoarea ∠BAE intersectează perpendiculara ȋn B pe BC ȋn M. Demonstrează că BN=CN.



Se consideră triunghiul isoscel ABC de vârf A. Fie M mijlocul lui [AC], D un punct pe (BM astfel încât [AD]≡[AB]. E mijlocul lui [AB] şi F mijlocul lui [AD]. Arătaţi că CE+CF=BD.



Fie triunghiul isoscel ABC cu [AB]≡[AC] şi ∠ABC≡∠ACB. Pe latura [AB] se consideră punctele M şi P astfel încât [AM]≡[MP]≡[PB], iar pe latura [AC] punctele S şi T astfel încât [AS]≡[ST]≡[TC]. Fie {E}=PSBC; {K}=MTBC. Demonstraţi:

  1. [PS] ≡ [MT]

  2. [SE] ≡ [MK]



Fie triunghiul isoscel ABC, [AB] ≡ [AC] şi punctele D∈(AB), F∈(DB) şi E∈(AC) astfel ȋncât [AD] ≡ [DE] ≡ [EF] ≡ [FC] ≡ [CB]

  1. Să se determine măsura unghiului BAC.

  2. In ipotezele de la punctul a) spunem că triunghiul isoscel ABC a fost „pavat ”cu triunghiurile isoscele ADE, DEF, EFC şi FCB. Să se determine măsurile unghiurilor unui triunghiul isoscel ştiind că acestea reprezintă un număr natural de grade şi numărul de triunghiuri isoscele cu care este „pavat ” este cel mai mare posibil .



Laturile a, b, c ale triunghiului ABC (AB=c, AC=b, BC=a) satisfac relaţia: [image]. Fie A’ simetricul punctului A faţă de mijlocul O al laturii [BC], MA⊥(ABC), (M ¹ A), P şi N mijloacele segmentelor [MC] respectiv [MA’]. Arătaţi că:

  1. DABC este dreptunghic.

  2. MB||(APA')

  3. DANC este isoscel

  4. (CNB)⊥(ABC)



Fie MAB şi MCD două triunghiuri dreptunghice isoscele, congruente (cu m(∠AMB)=m(∠CMD)=90[image]) astfel încât (MC este interioară ∠AMB. Fie {O}=ABCD şi {E}=ACBD. Să se arate că :

  1. AC = BD;

  2. AED este dreptunghic isoscel;

  3. AO = DO;

  4. M, O, E sunt coliniare.



Fie triunghiul isoscel ABC cu (AB) ≡ (AC) şi punctele D, EBC, astfel încât B∈(DC), C∈(BE) şi (BD) ≡ (CE). Perpendiculara în D pe AD intersectează perpendiculara în E pe AE în punctul F. Să se arate că (AF este bisectoarea unghiului ∠BAC.



Fie ABC un triunghi isoscel de bază (BC) şi D∈(AC). Se construieşte (BE) astfel încât B∈(AE) şi (BE) ≡ (CD). Segmentele (ED) şi (BC) se intersectează în F. Să se arate că F este mijlocul segmentului (DE).



Fie ABC isoscel, cu [AB] ≡ [AC] şi m(∠BAC)=200. Construim M∈(AC) astfel încât m(∠ABM)=200 şi MN || BC, N∈(AB). Notăm BMCN={O}. Fie P∈(OM), [OP] ≡ [PM], R∈ (NB), [RN] ≡ [RB], Q∈(OC), [OQ] ≡ [QC]. Sǎ se arate cǎ PQR este echilateral



Fie triunghiul ABC, cu (AB) ≡ (AC), m(∠BAC)=150 şi un punct M aflat pe prelungirea laturii AC astfel încât m(∠ABM)=900. Dacă CNAB, N∈[AB] şi CN=3 cm, atunci:

  1. Calculaţi măsura unghiului format de înălţimea şi mediana corespunztoare ipotenuzei AM

  2. Demonstraţi că lungimea înălţimii corespunzătoare ipotenuzei [AM] este egala cu [image] din lungimea ipotenuzei.

  3. Calculaţi aria triunghiului ABM.



Fie ABC un triunghi isoscel (AB) ≡ (AC) şi M mijlocul lui (BC). Construim MEAB, EAB şi MDAC, DAC.

  1. Să se arate că DE || BC;

  2. Ştiind că CE conţine mijlocul lui MD să se arate că ABC este dreptunghic.



∈n triunghiul isoscel ABC, m(∠A) = 120≡. Fie M mijlocul laturii [AB]. Perpendiculara din

M pe BC intersectează AC în D şi AEBC, E∈ (BC).

Arătați că:

  1. DAM este echilateral;

  2. DAEM este romb;

  3. CD = 3AD.



Fie ABC un triunghi isoscel cu m(∠A)=360 în care AB = AC = b şi BC = a. Fie BD bisectoarea unghiului [ABC; DAC şi E mijlocul lui [BC]. Să se arate că:

  1. b2= a2 + ab.

  2. DE >DC.



Fie triunghiul isoscel ABC cu (AB) ≡ (AC) şi punctele D, EBC, astfel încât B∈(DC), C∈(BE) şi (BD) ≡ (CE). Perpendiculara în D pe AD intersectează perpendiculara în E pe AE în punctul F. Să se arate că (AF este bisectoarea unghiului ∠BAC.



In triunghiul isoscel ABC, cu AB = AC, se consideră punctele E si F pe latura (BC),

astfel încât BE = EF = FC si E∈(BF). Fie D∈(AB) astfel încât BD = 2AD si G intersecția

dreptei DF cu înălțimea AA’ a triunghiului ABC , A’Î(BC) .

  1. Să se arate că patrulaterul ADEG este paralelogram.

  2. Să se arate că patrulaterul ADEG este romb dacă si numai dacă m(∠BAC)=120°.



Se dau două triunghiuri dreptunghice isoscele ABC şi ADE cu m(∠BAC)=m(∠DAE) care nu au puncte interioare comune. Fie M, N, P, Q mijloacele segmentelor [BC], [CD], [DE] şi [BE]. Arătaţi că:

  1. 2MP≤ BC + DE

  2. MNPQ este pătrat sau paralelogram



In triunghiul isoscel ABC cu AB=AC fie E (BC) astfel încât CE/BC=2/3. Paralela prin E la AB intersectează pe (AC) în D, iar perpendiculara în E pe BC intersectează pe (AB) în F. Să se arate că:

  1. DEC este isoscel

  2. AFD este isoscel.



Se dă un triunghi isoscel ABC cu m(∠A)=1200. Fie M mijlocul laturii [AB]. Perpendiculara din M pe BC intersectează dreapta AC în D, iar bisectoarea unghiului ∠CDM intersectează latura [BC] în E. Să se arate că:

  1. CD = 3AD

  2. BDDC

  3. [EB] ≡ [EC]

  4. EM || AC.



Se consideră triunghiul echilateral ABC (fiecare unghi al triunghiului are măsura egală cu 600) şi două semidrepte [AD, [BE paralele duse prin vârfurile sale, astfel încât punctele D si C sunt de o parte şi de alta a dreptei AB, punctele D si E sunt de aceeaşi parte a dreptei AB, iar punctele D şi E sunt în interiorul unghiului ∠ACB . Stiind că suma masurilor unghiurilor într-un triunghi este egala cu 1800, să se arate ca bisectoarele unghiurilor ∠DAC si ∠EBA se intersectează sub un unghi de 600 sau 1200.