Cubul



Fie cubul ABCDA’B’C’D’:

  1. Dacă AB =10 cm calculaţi lungimile segmentelor AC şi AC’, suma lungimilor tuturor muchiilor, perimetrul şi aria unei feţe.

  2. Dacă AA’=4 cm calculaţi lungimile segmentelor: AC şi AC’. Calculati suma lungimilor tuturor muchiilor, perimetrul şi aria unei feţe.

  3. Dacă suma lungimilor tuturor muchiilor este de 36 cm calculaţi lungimea unei muchii, lungimea diagonalei cubuluI, perimetrul unei feţe, aria unei feţe, suma ariilor tuturor feţelor.



Fie cubul ABCDA’B’C’D’:

  1. Dacă aria unei feţe este de 144 cm2 calculaţi lungimea muchiei şi a diagonalei cubului, aria unei feţe, perimetrul unei feţe şi suma lungimilor tuturor muchiilor.

  2. Dacă AC = 2√2cm calculaţi următoarele distanţe: d(A,CD), d(A,(A’B’C’)), d(AB,A’B’), d(BC’, AD’), d(B, D’), d((ADD’), (BCC’)), d(B, (ADD’)).



Fie cubul ABCDABCD în care aria patrulaterului BCD’A’ este egală cu 36√2cm2.

  1. Arătaţi că muchia cubului este egală cu 6 cm.

  2. Calculaţi aria laterală, aria totală şi volumul.

  3. Calculaţi măsura unghiului plan corespunzător diedrului determinat de planele (A’BC) şi (ADC’).



Un cub are suma tuturor muchiilor 72 cm. Aflati:

  1. diagonala cubului.

  2. aria laterală a cubului.

  3. volumul cubului.



În cubul ABCDA’B’C’D’ ştim că AB = 12 cm şi notăm cu E mijlocul muchiei AB.

  1. Calculaţi distanţa de la E la BD.

  2. Dacă se notează cu F intersecţia dintre dreptele DE şi BC, calculaţi lungimea segmentului CF.

  3. Calculaţi distanţa de la D’ la AB.



Un cub ABCDA’B’C’D’ are interiorul din oglinzi perfecte. Prin vârful B pătrunde în interior o rază de lumină, se reflectă pe faţa (DCC’) şi ajunge în vârful A. Dacă muchia cubului este de 4 cm, care este lungimea drumului parcurs raza de lumină de la B la A’?



Fie ABCDA’B’C’D’ un cub cu muchia AB = a. Notăm ACBD = {O} şi BC’B’C = {P}.Ştiind că OP = 6√2 cm.

  1. Arătaţi că a = 12 cm.

  2. Calculaţi aria triunghiului BC’D.

  3. Determinaţi distanţa de la O la A’D’.

  4. Determinaţi măsura unghiului determinat de dreptele OP şi AD’.



În figură, ABCDA’B’C’D’ este un recipient în formă de cub cu muchia 6 dm.

  1. Arătaţi că dacă se înclină recipientul şi în el se toarnă apă astfel încât suprafaţa apei devine planul A’BD, atunci în recipient sunt 36 litri apa.



[image]

  1. La ce înălţime se va ridica apa în recipient dacă acesta se aşează orizontal?



Un hamal trebuie să care colete de forma unui cub cu lungimea muchiei de 4 cm. Pentru a micşora numărul de drumuri, el cumpără o cutie de forma unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile 80 cm, 60 cm şi 40 cm şi o umple cu colete cubice,

  1. Câte drumuri dus-întors face hamalul, pentru a transporta10.000 cutii cubice?

  2. Aflaţi suprafaţa totală a cutiei paralelipipedice, dacă ea nu are capac.



Fie un cub ABCDEFGH si o piramida patrulatera regulata VABCD, unde latura cubului este de 12 cm, iar apotema piramidei este de 10 cm.

  1. Aflati volumul acestui corp.

  2. Aflati raportul dintre aria laterală a piramidei şi aria totală a cubului.

  3. Aflati unghiului VAC.



Fie cubul ABCDA’B’C’D’ cu lungimea muchiei de 6 cm.

  1. Calculaţi aria triunghiului A'BD;

  2. Calculaţi d(A', BC);

  3. Aflaţi măsura unghiului format de dreptele A'B şi C'D;

  4. Aflaţi distanţa de la punctul C' la planul (A'BD)



ABCDA'B'C'D' este un cub cu muchia de 4 cm. Punctele M şi N sunt mijioacele laturilor A'D' şi respectiv D'C'

  1. Calculaţi lungimea segmentului [MN].

  2. Calculaţi aria trapezului MNCA.

  3. Calculaţi sinusul unghiului dintre dreptele AM şi DN.



Desenaţi un cub ABCDA’B’C’D’ având muchia de 6 cm.

  1. Calculaţi aria totală şi volumul cubului.

  2. Calculaţi volumul piramidei DAD’C.

  3. Notăm cu M, N, P, Q centrele fetelor ABCD, ADD’A’, A’B’C’D’, respective BCC’B’. Stabiliţi natura patrulaterului MNOQ şi calculaţi aria acestuia.



Muchia cubului ABCDMNPQ este a şi fie G centrul de greutate în triunghiul ANC. Demonstraţi:

  1. BANC şi QANC sunt piramide regulate şi calculaţi înălţimile acestora în funcţie de a.

  2. B, G şi Q sunt puncte coliniare.

  3. (MDC)‌||(ANC).



Muchia cubului ABCDEFGH este de 2 cm. Calculaţi:

  1. Măsura unghiului format de dreptele AF şi BG.

  2. d = (G, (EDB)).



Fie cubul ABCDA’B’C’D’ de latură a. Fie M∈(BB’), N∈(DD’), cu MB = a×a, ND = b×b, unde a, b∈(0;1) şi d dreapta de intersecţie a planului (ABC) cu planul (C’MN).

  1. Arătaţi că AÎd dacă şi numai dacă a + b =1;

  2. Pentru [image]şi [image], calculaţi distanţa de la C la planul (C’MN).



Fie cubul ABCDA’B’C’D’ în care notăm cu Q centrul pătratului BCC’B’. Notăm cu P mijlocul lui [AB]¸ şi cu I piciorul perpendicularei dusă din D pe CP. Demonstraţi că QMPC.



Se dă cubul ABCDA’B’C’D’ (AB = a). Se consideră punctele M, N, P, P, Q, R, S situate pe fetele AB’B A’, BCC’ B’, CDD’C’, ADD’A’, ABCD, respectiv A’BC’D’ astfel încât: MB = M’B = B’N = NC’ = DP= D’P = AQ = A’Q = AR = RD = B’S = C’S unghiurile BM’B, B’NC’, DPD’, AQA’, ARD, B’SC’ au masura de 150˚

  1. Aratati că punctele M, N, P, Q sunt coplanare.

  2. Calculaţi aria patrulaterului MNPQ.



Fie ABCDA'B'C'D' un cub cu AB = 4 şi BC’CB’ = {O}.

  1. Dacă AOD’C’ = {P} aflaţi distanţa de la punctul P la dreapta AC.

  2. Dacă punctul M este situat pe segmentul (BB’) astfel încât sin(∠BOM)=2√5/5 aflaţi lungimea segmentului [BM].



In cubul ABCDA’B’C’D’ se notează cu O centrul feţei BCC’B’ şi cu O’ centrul feţei ABCD. Se ştie că aria triunghiului DOB este √3 cm.

  1. Să se afle latura cubului.

  2. Arătaţi că planul (ACB’) este paralel cu planul (A’C’D).

  3. Arătaţi că AC’A’O’.

  4. Calculaţi cosinusul unghiului dintre dreptele DO şi A’B.



In cubul ABCDA’B’C’ de muchie a se notează cu, M şi N mijloacele muchiilor AD respectiv AB, iar , E şi F mijloacele muchiilor B’ C’ respectiv C’D’ .

  1. Să se demonstreze că (A’ MN)||(CEF).

  2. Să se calculeze distanţa dintre planele (A’ MN ) şi (CEF).



In cubul ABCDA’B’C’D’ de muchie a, prelungim AC cu un segment CE = AC (A-C-E).

Calculaţi:

  1. d(A’;BD).

  2. Măsura unghiului dintre AC şi A’B.

  3. d(A;(BB’D’)).

  4. d(E;BC’).



In cubul ABCDA’B’C’D’ aria triunghiului DOB este √3 cm2, unde {O} = BC’B’C.

  1. Calculaţi valoarea cosinusului unghiului determinat de dreptele DO şi A’B.

  2. Determinaţi distanţa de la M la (AOC) unde M este mijlocul [AB].



Fie cubul ABCDA’B’C’D’ şi punctele M, N, P, Q pe feţele ABCD, BCC’ B’, A’B’C’D’, respectiv ADD’ A’, astfel încât triunghiurile ABM, B’C’N, C’D’P, ADQ să fie echilaterale.

  1. Să se arate că punctele M, N, P, Q sunt coplanare.

  2. Să se arate că MNPQ este dreptunghi, dar nu este pătrat.

  3. Să se arate că dreptele MP şi NQ fac cu dreapta AA’ unghiuri complementare.



Fie cubul ABCDA’B’C’D’ de muchie a, iar M şi N mijloacele segmentelor [AB] şi, respectiv, [B’C].

  1. Calculaţi distanţa de la punctul A la dreapta B’C.

  2. Demonstraţi că dreapta MN este paralelă cu planul (DAB’).

  3. Arătaţi că dreapta MN este perpendiculară pe planul (CB’D’).



ABCDA’B’C’D’ este un cub astfel încât AB = 12 cm iar P este centrul feţei ADD’A’ iar Q este mijlocul muchiei (BC).

  1. Să se calculeze lungimile segmentelor (C’P) şi (QP).

  2. Să se calculeze distanţa de la punctul Q la planul (A’C’D).



Fie ABCDA’B’C’D’ un cub cu muchia de lungime 6 cm. Determinati:

  1. Măsura unghiului format de dreptele B’C si AD’.

  2. Distanţa de la A’ la planul (AB’D’).

  3. Măsura unghiului determinat de dreapta AB şi planul (BDD’).

  4. Câte tetraedre regulate exista, a caror vârfuri sunt si vârfurile cubului?



Desenaţi cubul ABCDA’B’C’D’ şi fie M∈ [AB], N∈[BC] astfel încât [AM]≡[BN] şi AN∩DM={P}. Dacă AA’= 4cm şi AM=3cm, se cere:

  1. Arătaţi că AN⊥DM.

  2. Calculaţi distanţa de la punctul A’ la dreapta DM.

  3. Aflaţi raportul dintre volumul piramidei triunghiulare ACB’D’ şi volumul cubului.



În figura de mai jos ABCDA’B’C’D’ este un cub cu muchia de 4 cm. Punctele E, F, G, H, etc. sunt mijloacele muchiilor cubului. Fiecare ,,colţ” al cubului este tăiat după planul determinat de mijloacele a trei muchii concurente, de exemplu planul (ENF).

[image]

  1. Să se calculeze volumul corpului rezultat după eliminarea ,,colţurilor”.

  2. Să se arate că raportul dintre aria totală a cubului şi aria totală a corpului rezultat după eliminarea ,,colţurilor” este egal cu 3-√3.

  3. Să se afle distanţa dintre planele (ENF) şi (LKP).



Pe fiecare faţă a cubului ABCDA’B’C’D’ se scrie un număr natural diferit de zero, iar în fiecare vârf se scrie produsul celor trei numere scrise pe feţele care se întâlnesc în vârful respectiv . Ştiind că suma numerelor din vârfurile cubului este 663, să se afle suma numerelor de pe feţele cubului.  



Cubul ABCDA’B’C’D’ are muchia de lungime 4 cm. Punctele M şi N se află pe muchiile AA’, respectiv , CC’ astfel încât A’M = CN = 1 cm.

  1. Calculaţi aria totală a piramidei . ACD’B’

  2. Calculaţi lungimea segmentului MN.

  3. Demonstraţi că punctele B, N, D’ şi M sunt coplanare.



Fie un bazin în formă de cub notat ABCDA’B’C’D’ în care aria patrulaterului BCD’A’ este egală cu 25√2 dm2.

  1. Arătaţi că muchia cubului este egală cu 5 dm.

  2. Calculaţi aria totală şi volumul cubului.

  3. Dacă în bazin se pun numai 100 l de apă pâna la ce înalțime se ridică apa.

  4. Dacă M∈(BB’), să se determine lungimea drumului minim parcurs de o furnică care pleacă din A, trece prin M şi ajunge în C’.



Fie cubul ABCDA'B'C'D', iar M şi N mijloacele segmentelor [AB] şi respectiv [B'C].

  1. Demonstraţi că dreapta MN este paralelă cu planul (DAB').

  2. Arătaţi că dreapta MN este perpendiculară pe planul (CB'D').



Fie cubul ABCDA’B’C’D’, Q centrul feţei BCC’B’ şi P mijlocul muchiei (AB). Fie DMPC, MPC. Arataţi că:

  1. Dreapta DM conţine mijlocul segmentului (BC).

  2. QMPC.



Raportul dintre diagonala cubului şi aria unei feţe a cubului este 2. Determinaţi suma muchilor cubului. 



Se consideră un cub de latură 1 şi în interiorul său o mulţime finită de puncte M cu proprietăţile;

  1. M are cel puţin trei puncte;

  2. Distanţa dintre orice două puncte din M este cel mult egală cu d, 0 < d < 1

  3. Pentru fiecare punct PM se notează cu xp cea mai mică distanţă de la P la celelalte puncte din M - {P}. Demonstraţi că: [image].



Diferenţa dintre diagonala unui cub şi diagonala unei feţe a cubului este [image]. Să se afle aria secţiunii diagonale a cubului .



În cubul ABCDA’B’C’D’ de muchie a, prelungim AC cu un segment CE=AC (AC - E).Calculaţi:

  1. d(A’; BD);

  2. Măsura unghiului dintre AC şi A’B;

  3. d(A;(BB’D’));

  1. d(E;BC’).



În cubul ABCDA’B’C’D’ se consideră T un punct pe (AO) unde O este centrul feţei BCC’B’. Aflaţi unghiul dintre dreptele D’B şi B’T.



Latura cubului ABCDA’B’C’D’ este egală cu 10 cm. Care este măsura unghiul format de AB’ şi planul (BDD’)?



Fie ABCDMNPQ cub, AB=1+√2, [BT bisectoarea unghiului ∠CBP, TCP, S∈DQ astfel încât SD=2. Dacă BS∩NQ={U} şi UT∩(ABC)={R} calculaţi BR.



În cubul ABCDA'B 'C 'D ' de muchie a se notează cu M , N mijloacele muchiilor AD respectiv AB , iar E, F mijloacele muchiilor B'C ' respectiv C 'D'.

a) Să se demonstreze că ( A'MN ) || (CEF ) .

b) Să se calculeze distanţa dintre planele ( A'MN ) şi (CEF ).



Se consideră cubul ABCDA’B’C’D’ cu AB=12cm. Se cere:

  1. Aria totală şi volumul cubului.

  2. Distanţa de la punctul A’ la dreapta BC’

  3. Precizaţi natura piramidei cu varful în B’ şi baza triunghiul A’BC’, apoi calculaţi volumul acestei piramide.

  4. Furnică pleacă din punctul B al bazei cubului dat, parcurge feţele laterale ale cubului şi ajunge în punctul B’ al bazei superioare a cubului (situat pe aceeaşi muchie ca şi punctul b. Aflaţi drumul cel mai scurt pe care îl parcurge furnica.



În cubul ABCDA’B’C’D’ punctul P este mijlocul lui [C’D’] şi AP=18cm. Să se afle:

  1. Aria totală şi volumul cubului.

  2. Măsura unghiului format de dreptele BD şi B’C

  3. Aria triunghiului BPD

  4. O furnică pleacă din punctul A, străbate două feţe laterale consecutive ajungând în punctul C’. Care este drumul cel mai scurt pe care îl parcurge furnica şi cât este lungimea lui?



În cubul ABCDA’B’C’D’, cu muchia de 4 cm se cere distanţa de la punctul A la planul A’BC.



Fie cubul ABCDABCD’ si punctele M, N, P, Q pe fețele ABCD, BCCB’, ABCD’,

respectiv ADDA’, astfel încât triunghiurile ABM, BCN, CDP, ADQ să fie echilaterale.

  1. Să se arate că punctele M, N,P,Q sunt coplanare.

  2. Să se arate că MNPQ este dreptunghi, dar nu este pătrat.

  3. Să se arate că dreptele MP si NQ fac cu dreapta AA’ unghiuri complementare.