Perpendicularitate in Spatiu



Se dau punctele necoplanare A, B, C, D astfel încât AB =13 cm, AC = 21 cm, AD = 19 cm, CD = 16 cm, BC = BD = 20 cm. Se duce [BM]⊥[AC], M∊[AC]. Să se afle:

  1. Aria ΔBMD.

  2. Măsura unghiului diedru format de planele (ABC) şi (ACD).

  3. Aria proiecţiei ortogonale a ΔBDC pe planul (ABC).



Se consideră triunghiul ABC, AB = 13 cm, AC = 20 cm, BC = 21 cm. Dintr-un punct M exterior planului (ABC) se construieşte distanţa MN la plan. Distanţele de la N la AB, BC, CA sunt invers proporţionale cu numerele 0,(076923), 0,(047619) şi 0,05. Dacă unghiul diedru format de planul (MBC) şi planul (ABC) este de 60°, să se afle:

  1. Tangentele unghiurilor diedre formate de planele (MAC) şi (MAB) cu planul (ABC).

  2. Distanţa de la punctul N la planul (MBC).

  3. Aria triunghiului MBC.



Pe planul dreptunghiului ABCD (AB>AC) se ridică perpendiculara MD = 6 cm astfel încât [image]. Proiecţia lui A pe segmentul MB este punctul P care împarte segmentul MB în două segmente PM şi PB astfel încât unul este mai mare decât celălalt cu (6√10)/5 cm. Aflaţi:

  1. Distanţele de la punctul M la dreptele AB şi BC.

  2. Măsura unghiului plan corespunzător diedrului determinat de planele (PAB) şi (ABC).



Se dau patru puncte necoplanare A, B, C, D. Notăm cu E şi F mijloacele segmentelor [AB] şi [CD], iar cu G centrul de greutate al triunghiului ABC. Arătaţi că:

  1. Punctele D, E, G şi F sunt coplanare.

  2. Dreapta DG trece prin mijlocul lui [EF].

  3. Dacă, în plus, [AD]≡[AC]≡[BC]≡[BD], atunci EF⊥AB, EF⊥CD şi AB⊥CD.



Prin vârfurile A, B, C, D ale paralelogramului ABCD se construiesc dreptele (a), (b), (c), (d) paralele între ele, pe care se iau, de aceeaşi parte a planului (ABC), punctele M∈(a), N∈(b), P∊(c), astfel incât AM = 3a, BN = 4a, CP = a. Să se determine poziţia punctului în care planul (MNP) taie dreapta (d).



Se consideră patru puncte A, B, C, D necoplanare şi echidistante. Dacă notăm cu a distanţa dintre două puncte, să se calculeze:

  1. Distanţa de la punctul D la planul (ABC).

  2. Unghiul dintre planele (ABC) şi (DBC).

  3. Unghiul format de dreapta AD şi planul (ABC).

  4. Distanţa intre centrele de greutate ale triunghiurilor ABC şi DBC.

  5. Dacă notăm cu O centrul cercului circumscris triunghiului ABC să se arate că suma distanţelor de la punctul O la planele (DAB), (DAC), (DBC) este o constantă. Să se determine această constantă.



Pe planul pătratului ABCD de latura a şi centrul O se ridică perpendiculară MA, astfel încât [MO]≡[AC]. Fie E şi F mijloacele segmentelor [MD], respectiv [MB].

  1. Arătaţi că triunghiul AEF este isoscel.

  2. Arătaţi că triunghiul CEF este triunghi isoscel şi calculaţi lungimile laturilor acestui triunghi in funcţie de a.

  3. Arătaţi că (AEF)⊥(CEF).



Pe planul rombului ABCD, având latura de lungime a cm şi m(∠B) = 60° se ridică perpendiculara VA de lungime a cm. Fie E mijlocul segmentului (AB) şi F mijlocul

Segmentului (AD).

  1. Să se găsească un punct M∈(CV ) egal depărtat de punctele V, C, A, E, F.

  2. Calculaţi sinusul unghiului format de planele (VEF ) şi (MEF ).



Pe planul triunghiului isoscel ABC, AB = AC = 13 cm şi BC = 10 cm, se ridică perpendiculara AM cu AM = 12√3 cm. Aflati:

  1. d(M,BC).

  2. d[A, (MBC)].

  3. Măsura unghiului diedru format de planele (MBC) şi (ABC).



Pe planul rombului ABCD se ridică perpendiculara AE iar din O, intersecţia diagonalelor rombului, se duce perpendiculara pe CE în F.

  1. Să se demonstreze că BF⊥CE, DF⊥CE.

  2. Să se exprime unghiul (∠AMF) dintre FO şi AE prin unghiul (∠ACE).

  3. Să se arate ca patrulaterul AMCF este inscriptibil.



Dacă punctele A, B, C, D sunt necoplanare, AB⊥AC, AB⊥AD, AC⊥AD şi ariile triunghiurilor ABC, ACD, ADB sunt egale cu x, y, z atunci:

  1. Dreapta AD este perpendiculară pe planul (ABC).

  2. Dacă AB = b, AC = c şi AD = d, atunci [image].

  3. Determinaţi în funcţie de x, y, z aria triunghiului BCD.



Se dă un pătrat ABCD cu latura de 8 cm şi SA⊥(ABC), SA = 8 cm. Fie M şi N mijloacele segmentelor (SB), respectiv (SD). Aflaţi:

  1. Distanţa de la punctul A la planul (CDS).

  2. Distanţa de la punctul M la planul (ACS).

  3. Sinusul unghiului format de planele (AMN) şi (BDS).



Pe planul pătratului ABCD cu AB = 3 cm de aceeaşi parte a planului, se duc perpendicularele B’B = 2 cm, C’C = 8 cm şi D’D = 4 cm. Determinaţi pe perpendiculara în A pe planul pătratului punctul A’ astfel încât A’, B’, C’ şi D’ să fie coplanare.



Se consideră A, B, C trei puncte pe un cerc de rază r astfel încât triunghiul ABC este echilateral. Pe planul cercului se ridică perpendicularele AM, BN, CP, în acelaşi semispaţiu delimitat de planul (ABC), astfel încât AM = 4a, BN = CP = a, a > 0. Să se arate că dreapta de intersecţie dintre planele (ABC) şi (MNP) este tangentă la cerc.



Fie ABCD un trapez cu AB||CD şi AB + CD = AD . Pe planul (ABCD) se ridică perpendiculara în punctul A pe care se ia punctul M. Fie N mijlocul segmentului BC. Să se arate că MN⊥DN .



Se consideră punctele necoplanare A, B, C şi D. Fie ECD astfel încât suma AE+EB să fie minimă şi F intersecţia bisectoarei unghiului AEB cu dreapta AB. Arătaţi că EFCD.



Fie rombul ABCD cu AB = 2√3 cm, m(∠BAD) = 60°. Fie V un punct exterior planului (ABC), iar E şi F proiecţiile lui V pe (ABC), respectiv B pe (VDC). Să se determine lungimile segmentelor (AE), (BE), (CE), (DE) dacă F este centrul de greutate al triunghiului VDC şi BE =VF.



Fie ABCD un dreptunghi cu AB = 6 cm şi BC = 3√2 cm, iar P este mijlocul laturii AB. În punctul P se ridică perpendiculara MP pe planul dreptunghiului, MP = 3√3 cm. Se cere:

  1. Măsura unghiului format de dreapta MC cu planul dreptunghiului.

  2. Unghiul format de dreptele MC şi BD.



In centrul O al triunghiului echilateral ABC de latura a se ridică perpendiculara OD pe planul triunghiului. Punctele M şi N sunt mijloacele laturilor [AB], respectiv [AC].Stiind că m(∠(DMN),(ABC)) = 30º, să se calculeze:

  1. dist(O,AD).

  2. sin((BED);(CED)), unde {E} = MN∩AO.



Pe planul pătratului ABCD, cu latura de măsură 2x, se ridică perpendiculara care trece prin A. Pe această perpendiculară se ia punctul S astfel încât AS = 2x. Perpendicularele din A pe BS, CS, DS le intersectează pe acestea respectiv în punctele M, N, P. Fie O punctul de intersecţie al diagonalelor pătratului şi E mijlocul segmentului MP. Determinaţi:

  1. Triunghiurile MNP, AMP sunt isoscele.

  2. Dreapta MP este paralelă cu planul (ABCD).

  3. Punctele S, E, O sunt colineare.

  4. Dreapta SE nu este perpendiculară pe planul AMP .

  5. Dreptele AE şi BD sunt perpendiculare.

  6. Calculaţi distanţa OF de la punctul O la dreapta SC.



Se consideră,în spaţiu,dreptele OX, OY, OZ perpendiculare două câte două şi punctele A şi B distincte şi care nu aparţin planelor determinate de aceste drepte. Distanţele de la A la planele (XOY), (YOZ), (ZOX) sunt respectiv a, b, c, iar distanţele de la B la aceleaşi plane (în aceeaşi ordine) sunt respectiv b, c, a. Arătaţi că triunghiul OAB este isoscel.



Un triunghi dreptunghic ABC are m(∠A)=90º, AC=12 cm şi raza cercului circumscris triunghiului de 10 cm. De aceeaşi parte a planului (ABC) se consideră punctele M şi P astfel încât MA⊥(ABC), PB⊥(ABC), AM = 6 cm, PB = 2 cm. Să se calculeze:

  1. Aria patrulaterului MABP.

  2. Distanţa de la A la planul (MCP).



Fie triunghiul ABC cu AC = 15 cm, AB = 6 cm. Pe latura [AC] se ia punctual D astfel încât AD = BD = 5 cm, iar pe perpendiculara în D pe planul triunghiului se ia punctul P astfel încât PD = 3 cm. Bisectoarea unghiului BDC intersecteaza BC în punctul E. Să se calculeze distanţele PE si BC.



Fie ABCD un pătrat cu latura de lungime a. De aceeaşi parte a planului pătratului se ridică perpendiculare in A şi D pe planul pătratului, pe care se consider punctele M şi N astfel încât AM = 2a si DN = a.

  1. Arătaţi că: sin30° < sin[ ∠(MCN) ;( ABC) ] < sin60°.

  2. Determinati d(B;(ACN)).



Pe planul DABC se ridică perpendicularele BB’ şi CC’. Stiind că AB = a, BC = 2a, AC = BB’ = a√3, CC’ = a√ 6, calculaţi:

  1. Distanta de la C’ la dreapta AB.

  2. Distanta de la B’ la planul (ACC’).

  3. Sinusul unghiului dintre CC’ si planul (ABC’).



Pe planul pătratului ABCD se ridică, de aceiaşi parte, perpendicularele AM şi CN. Se dau: [image].

  1. Să se arate că MN⊥BD.

  2. Să se calculeze distanţele de la M la BN respectiv la planul (BCN).



Pe planul trapezului dreptunghic ABCD cu bazele AB = 2 dm, CD = 6 dm şi înălţimea AD = 4√ 3 dm se ridică perpendiculara DE, DE = 8 dm. Fie MÎBC astfel încât BM = 2 dm.

  1. Aflaţi lungimea segmentelor AE si ME.

  2. Arătaţi că AM⊥(DEM).