Piramida Patrulatera



[image]

Fie piramidă patrulateră regulată VABCD alăturata.

  1. Dacă OM = 6 cm şi VO = 6√3 cm calculaţi: AB, VM, OA, VC, AC, VA.

  2. Dacă perimetrul bazei este de 16 cm şi VM = 4 cm calculaţi: AB, OA, AC, OM, VM, VA.

  3. Dacă aria bazei este egală cu 100 cm2 şi aria unei feţe laterale este egală cu 25 cm2 calculaţi: suma lungimilor tuturor muchiilor laterale, perimetrul bazei , perimetrul unei feţe laterale, lungimile înălţimii şi apotemei piramidei.



[image]

Fie piramidă patrulateră regulată VABCD alăturată având latura bazei 6 cm şi înălţimea 4 cm. [VO] este înălţime,iar [VM] este apotemă. Calculati:

  1. Sinusul unghiului dreptelor VA şi VC.

  2. Distanţa de la punctul O la planul (VBC).

  3. Distanţa de la punctul A la dreapta VB.

  4. Tangenta unghiului format de dreapta VB cu planul (VOM).

  5. Distanţa de la punctul A la planul (VBC).

  6. Cosinusul unghiului format de planele (VAC) şi (VBC).

  7. Distanţa de la punctual A la dreapta VM.

  8. Tangenta unghiului format de dreapta VA cu planul (VBC).

  9. Distanţa de la punctul V la dreapta AM.

  10. Cosinusul unghiului format de planele (VOM) şi (VAB).

  11. Distanţa de la punctul O la planul (VAM)



Fie o piramidă patrulateră regulată în care latura bazei şi apotema piramidei au lungimea de 12 cm iar P este mijlocul muchiei VC. Se cere:

[image]

  1. Lungimile înălţimii piramidei, apotemei piramidei şi a muchiei laterale.

  2. Aria secţiunii diagonale a piramidei.

  3. Distanţele de la O la muchia laterală şi de la B la VD.

  4. Măsura unghiului format de dreptele VD şi AB.

  5. Distanţa de la B la planul (VAC).

  6. Sinusul unghiului format de VD şi BD.

  7. Sinusul unghiului BVD.

  8. Lungimile segmentelor VP, PC, OP.

  9. Aria triunghiului BPD.

  10. Aria triunghiurilor VOP şi POC.



O piramidă patrulateră regulată VABCD are înălţimea de 12 cm şi lungimea laturii bazei de 18 cm. Calculaţi:

  1. Aria laterală, aria totală şi volumul piramidei.

  2. Distanţa de la centrul bazei la o faţă laterală.

  3. Măsura unghiului format de o faţă laterală cu planul bazei.

  4. Sinusul unghiului format de planele (VAD) şi (VBC).



Piramida patrulateră regulată VABCD are AB = 12cm, şi înălţimea VO = 8cm.

  1. Aflaţi aria laterală şi volumul piramidei.

  2. Aflaţi dacă încap 500 ml apă în piramidă.



Calculaţi aria laterală, aria totală şi volumul unei piramide patrulatere regulate care are apotema bazei de lungime 3 cm iar apotema piramidei de lungime 5 cm. 



Fie piramida patrulateră regulată VABCD în care aria secţiunii diagonale este de 48√2 cm2 iar volumul este egal cu 384 cm3. Calculaţi:

  1. Lungimile laturii bazei, înălţimii şi apotemei piramidei.

  2. Aria laterală şi aria totală.



Fie VABCD o piramida patrulateră regulată, VO este înălţime, VO = 20 cm, AB = 42 cm. Aflaţi aria lateral şi aria totala a piramidei.



Fie VABCD o piramidă patrulateră regulată cu AB = 90 cm si aria laterală 9540 cm2. Aflaţi inalţimea piramidei.



Dacă într-o piramidă patrulateră regulată latura bazei este de 6 cm şi înălţimea piramidei este de 4 cm, atunci calculaţi lungimea muchiei laterale şi aria totală a piramidei.



O piramidă patrulateră regulată de volum 1360 cm³ se secţionează cu un plan parallel cu baza, prin mijlocul înălţimii. Aflaţi volumul piramidei mici formate.



O piramidă patrulateră regulată, având latura bazei 24 cm, se secţionează cu un plan paralele cu baza, dus prin mijlocul înălţimii. Aflaţi perimetrul şi aria secţiunii formate.



Fie VABCD o piramidă patrulateră regulată latura bazei este de 5 cm, iar muchia laterală face cu planul bazei un unghi de 600.

  1. Aflaţi aria laterală a piramidei.

  2. Aflaţi distanţa de la centrul cercului circumscris bazei la o faţă laterală.



O piramidă patrulateră regulată are înălţimea de 9 cm şi latura bazei de 12 cm. Se secţionează piramida cu un plan paralel cu bază dus la 2/3 din înălţime faţă de vârf. Aflaţi aria secţiunii. 



Aflaţi aria laterală a unei piramide patrulatere regulate care are latura bazei 16 cm şi înălţimea 36 cm.



Aflaţi latura bazei unei piramide triunghiulare regulate care are aria laterală 81√19 cm2 şi înălţimea 12 cm.



Aflaţi înălţimea unei piramide patrulatere regulate care are aria laterală 64√97 cm2 şi latura bazei 16 cm.



Aflaţi volumul unei piramide patrulatere regulate care are aria laterală 324√5 cm2 şi latura bazei 18 cm.



Un vas are forma unei piramide patrulatere regulate, cu vârful în jos. Dacǎ este umplut pânǎ la jumǎtatea înǎlţimii, în vas încap 23 l lichid. Aflaţi capacitatea totalǎ a vasului.



Raportul dintre aria bazei si aria laterală a unei piramide patrulatere regulate este [image], iar înălţimea acestei piramide este 5√2 cm.Determinaţi:

  1. Aria totală şi volumul piramidei.

  2. Distanţa de la centrul bazei la una din fetele laterale.

  3. Masura unghiului dintre muchia laterală a piramidei şi planul bazei.

  4. Volumul trunchiului de piramidă obţinut prin secţionarea cu un plan paralel cu baza ce trece la 0,4 din înălţime faţă de vârf.



Piramida patrulaterǎ regulatǎ VABCD are aria secţiunii ce conţine muchiile VA şi VC de 8√3 cm², iar dreptele VC şi AB formeazǎ un unghi de 60º. Calculaţi:

  1. Aria totalǎ şi volumul piramidei.

  2. Aria secţiunii cu un plan paralel cu baza, dus la ⅓ din înǎlţime faţǎ de vârf.



Muchiile laterale ale unei piramide patrulatere regulate fac cu planul bazei unghiuri de 450. Stiind că aria unei secţiuni diagonale este de 9 cm2, determinaţi:

  1. Aria totală şi volumul piramidei.

  2. Volumul trunchiului de piramidă obţinut prin secţionarea cu un plan paralel cu baza ce trece la 1/3 din înalţime faţa de bază.



∈n piramida patrulateră regulată VABCD, având aria totală 500 cm² şi aria laterală 400 cm² se notează O centrul bazei, E mijlocul lui [VD] şi F mijlocul lui [VC].

  1. Aflaţi perimetrul şi aria ∆OEF.

  2. Arătaţi că VOEF.



Se consideră piramida patrulateră regulată VABCD. Dacă VO⊥(ABC), VO = 8 cm şi AB = 12 cm.

  1. Calculaţi lungimea muchiei laterale.

  2. Calculaţi înălţimea din V a triunghiului VBC.

  3. Calculaţi distanţa de la O la dreapta VM, unde M este mijlocul laturii [BC]



Se consideră piramida patrulateră regulată VABCD cu VA = 2√3 cm, aria feţei laterale de 60 cm2 şi apotema bazei de 2 cm. Să se afle :

  1. Aria şi volumul piramidei.

  2. Semiperimetrul bazei.

  3. Distanţa de la vârful piramidei la baza piramidei.

  4. Distanţa de la V la BC.

  5. Distanţa de la un vârf al bazei la o faţă laterală a piramidei.

  6. Tangenta unghiului format de baza piramidei şi o faţă laterală.



Piramida patrulaterǎ regulatǎ VABCD are latura bazei 8 cm, iar VBD este dreptunghic. Aflaţi:

  1. ∈nǎlţimea şi apotema piramidei.

  2. Aria totalǎ.

  3. Volumul.

  4. Distanţa de la A la VB.



∈n figură, VABCD este o piramidă patrulateră regulată cu AB = 12 cm şi VB = 6√3cm.

  1. Determinaţi volumul piramidei VABCD.



[image]

  1. Determinaţi distanţa de la vârful A la planul VBC



O piramidă patrulateră regulată VABCD are feţele laterale triunghiuri echilaterale. Dacă AB =12 cm se cere:

  1. Aflaţi aria totală a piramidei.

  2. La ce distanţă de vârful piramidei se duce un plan paralel cu baza astfel încât volumul trunchiului de piramidă să fie 87,5% din volumul piramidei date.



∈n figura alăturată este reprezentat schematic un colector dintr-o fabrică de nutreţuri combinate. VABCD este o piramidă patrulateră regulată dreaptă cu AB = 2 m, unghiul diedru al planelor (VAD) şi (VBC) este de 60°, ABCDA’B’C’D’ este o prismă patrulateră regulată dreaptă cu CC` = 0,5 m.

[image]

  1. Să se calculeze volumul total al colectorului.

  2. Ştiind că colectorul este confecţionat din tablă de fier ce cântăreşte 40 kg/m2, calculaţi masa acestuia.



Pe planul pătratului ABCD, se ridică perpendiculara SO, unde ACBD = {O}, SO = 2√3 cm ,m(∠(SA, AC)) = 600.

  1. Calculaţi lungimea laturii pătratului ABCD.

  2. Calculaţi distanţa de la punctul S la vârfurile pătratului.

  3. Calculaţi distanţa de la punctul S la laturile planului ABCD.

  4. Calculaţi distanţa de la punctul O la laturile pătratului ABCD.

  5. Determinaţi lungimea razei cercului înscris planului ABCD.

  6. Determinaţi lungimea razei cercului circumscris planului ABCD.



Sorin a sculptat din brânză o piramidă patrulateră regulată pe care a numit-o VABCD. Latura bazei are 12 cm şi înălţimea piramidei este de 8 cm. Punctul M este mijlocul laturii BC.

  1. Calculaţi aria totală a corpului sculptat din brânză.

  2. Dorind să mănânce o bucată Sorin taie brânza după muchia VA şi prin mijlocul M a lui BC. Calculaţi valoarea tangentei unghiului determinat de planul (VAM) al tăieturii şi planul bazei (ABC).



Gepeto ciopleşte dintr-o bucată de lemn în formă de prismă patrulateră regulată dreapta ABCDA’B’C’D’ o piramidă patrulateră regulată dreapta O’ABCD unde O’ este mijlocul lui A’B’C’D’. Stiind că AB = 10 cm şi AA’ = 12 cm :

  1. Arătaţi că O’M = 13 cm.

  2. Calculaţi aria totală a piramidei.

  3. Calculaţi volumul de material pierdut in urma cioplirii.



O piramidă patrulateră regulată are muchia laterală congruentă cu muchia bazei şi aria laterală de 36√3 cm2.

  1. Aflaţi aria totală şi volumul piramidei.

  2. Aflaţi distanţa de la centrul bazei la o muchie laterală.

  3. Arătaţi că două muchii laterale opuse sunt perpendiculare.



Fie VABCD o piramidă patrulateră regulată cu AB = 12 cm şi apotema de 10 cm.

  1. Aflaţi lungimea înălţimii VO a piramidei, {O}=ACBD.

  2. Aflaţi aria laterală şi volumul piramidei.

  3. Aflaţi tg(∠(VAD), (ABC)).

  4. Dacă P∈(VO), astfel încât d(P, (ABC)) = d(P, (VBC)), atunci aflaţi PO.

  5. Aflaţi distanţa de la punctual A la planul (VCD).



Se consideră piramida patrulateră regulată VABCD, în care AB = 6 cm, VA = 5 cm. Fie {O}=AC∩BDşi P mijlocul lui VB.

  1. Calculează lungimea înălţimii piramidei.

  2. Determină distanţa de la centrul bazei la o faţă laterală.

  3. Determină măsurile diedrelor formate de feţele laterale ale piramidei cu planul bazei.

  4. Calculează măsura unghiului dintre AP şi (ABC).



Fie piramida patrulateră regulată VABCD în care AB = a şi m(∠AVB) = 300. Calculaţi:

  1. Lungimea muchiei laterale, aria laterală şi aria totală a piramidei.

  2. sin150 .

  3. Cosinusul unghiului plan al unghiului diedru format de planele VBC şi ABC.

  4. Lungimea drumului minim parcurs de un punct mobil care pleacă din A, trece peste VB, VC, VD şi ajunge în A’, mijlocul lui VA.



Fie VABCD o piramidă patrulateră regulată, punctul O centrul bazei ABCD şi P un punct situat pe înălţimea piramidei, la o treime de vârful acesteia. Stiind că VO = AB = 6 cm:

  1. Arataţi că raportul dintre aria triunghiului PBC şi aria triunghiului VBC aparţine intervalului (2/3, √6/3).

  1. Determinaţi sinusul unghiului VPM, unde punctul M este piciorul perpendicularei din vârful piramidei pe latura BC.



Dintr-un obiect metalic îm formǎ de piramidǎ patrulaterǎ regulatǎ, având latura bazei egalǎ cu înǎlţimea, se doreşte obţinerea unui obiect având forma unei piramide octogonale regulate, astfel încât pierderea de material sǎ fie minimǎ.

  1. Aflaţi cât la sutǎ din material se pierde.

  2. Calculaţi masa materialului pierdut, dacǎ piramida iniţialǎ avea apotema 5√5 cm, iar obiectul este confecţionat din aluminiu cu densitatea ρ=2,7 g/cm³.



Fie VABCD o piramidă patrulateră regulată cu AB=4 cm. Ştiind că unghiurile diedre a două feţe laterale opuse sunt congruente cu unghiurile diedre pe care acestea le formează cu planul bazei, să se afle:

  1. Suma muchiilor laterale ale piramidei;

  2. Aria totală şi volumul piramidei;

  3. Distanţa de la punctul C la dreapta VA;



Fie VABCD o piramidă patrulateră regulată cu AB = 12 cm şi apotema = 10 cm.

  1. Aflaţi lungimea ȋnalţimii VO a piramidei, {O} = ACBD.

  2. Aflaţi aria laterală şi volumul piramidei.

  3. Aflaţi tg(∠(VAD); (ABC)).

  4. Dacă P∊(VO), astfel ȋncât d(P; (ABC)) = d(P; (VBC)), atunci aflati PO.

  5. Aflaţi distanţa de la punctul A la planul (VCD).



Inălţimea şi apotema bazei unei piramide patrulatere regulate (măsurate in centimetri) sunt x respectiv y, soluţii ale sistemului: x+y=8 si 2x-y=4

  1. Să se afle aria totală şi volumul piramidei.

  2. Măsura unghiului diedru format de o faţă laterală cu planul bazei.

  3. Arătaţi că feţele laterale opuse sunt incluse în plane perpendiculare.

  4. Aflaţi distanţa de la un vârf al bazei la o faţă laterală opusă.



Intr-o piramidă patrulateră regulată înălţimea este de 8 cm, iar lungimea laturii bazei este de 12cm.

  1. Aflaţi aria totală şi volumul piramidei.

  2. Sinusul unghiuluiformat de doua muchii laterale opuse.

  3. La ce distanţă de planul bazei trebuie facută o secţiune paralelă cu baza piramidei astfel încât volumul piramidei mici să fie egal cu 1/ din volumul trunchiului de piramidă?



Secţiunea diagonală a unui trunchi de piramidă patrulateră regulată este un trapez isoscel în care baza mare are 24cm, baza mică de 18cm, iar măsura unghiului alăturat bazei mari este de 600. Fie acest trunchi ABCDA’B’C’D’. Se cere:

  1. Aria şi perimetrul secţiunii diagonale.

  2. Distanţa de la punctul C’ la dreapta AA’.

  3. Aria totală şi volumul trunchiului de piramidă.

  4. Volumul piramidei din care provine trunchiul.



Intr-o piramidă patrulateră regulată VABCD, unghiul diedru format de o faţă laterală cu planul bazei este de 600 , iar lungimea muchiei bazei AB=a. Se cere:

  1. Aria laterală şi volumul piramidei;

  2. Sinusul unghiului format de două feţe laterale alăturate;



Intr-o piramidă patrulateră regulată înălţimea este de 8 cm, iar lungimea laturii bazei este egală cu soluţia ecuaţiei x2 –7x –60 = 0 (exprimată în cm). Se cere:

  1. Aria totala şi volumul piramidei.

  2. La ce distanţă de planul bazei trebuie făcută o secţiune paralelă cu baza piramidei astfel încât volumul piramidei mici să fie egal cu 1/7 din volumul trunchiului de piramidă.



Figura de mai jos reprezintă schematic un bazin cu apă montat în grădină şi confecţionat din tablă. ABCDA'B'C'D' este o prismă patrulateră regulată cu muchia bazei AB = 1,2 m şi înălţimea AA' = 1,5 m, iar VABCD este o piramidă patrulateră regulată cu m(∠AVB) = 60°.



[image]

  1. Aflaţi suprafaţa tablei folosite pentru confecţionarea bazinului, ştiind că nu sunt pierderi la îmbinări.

  2. Dacă în bazin sunt 1488√2 l de apă, aflaţi înălţimea VP a apei din bazin (PVO').



Un cort din pânză are forma unei piramide patrulatere regulată, având ca bază un pătrat cu latura de 8√3 cm şi înălţimea de 12√3 cm.

  1. Aflaţi volumul piramidei formate.

  2. Determinaţi tangenta unghiului format de muchia laterală cu planul bazei.

  3. Câţi metri pătraţi de pânză s-au folosit pentru confecţionarea cortului