Piramida Triunghiulara



[image]

Fie piramida triunghiulară regulată VABC alăturată.

  1. Dacă OA = 6 cm şi VO = 4 cm determinaţi lungimile segmentelor: AB, AM, OM, VM, VA.

  2. Dacă aria bazei este de 9√3 cm2 iar VA = AB calculaţi: AB, VA, VO, OM, OA .Dacă VA = 13 cm iar perimetrul unei feţe laterale este de 36 cm calculaţi: AB, VM, OM, VO, OA.

  3. Dacă VM = 12 cm şi m(∠(VC, MC)) = 45° calculaţi: BC, VC, VO, OM, OA.



Calculaţi aria laterală, aria totală şi volumul unei piramide triunghiulare regulate care are lungimea laturii de 12 cm şi înălţimea de √13 cm.



Fie piramida triunghiulară VABC în care aria bazei este egală cu 9√3 cm2 iar volumul este egal cu 3√3 cm3. Calculaţi:

  1. Lungimile înălţimii şi apotemei piramidei.

  2. Aria laterală şi aria totală.



Fie VABC o piramidă triunghiulară regulată, latura bazei este de 6√3 cm, iar o faţă laterală face cu planul bazei un unghi de 60°.

  1. Aflaţi volumul piramidei.

  2. Aflaţi distanţa de la un vârf al bazei la faţa laterală opusă.



O piramidă triunghiulară regulată are înălţimea de 36 cm. La ce înălţime de vârf trebuie făcută o secţiune paralelă cu baza pentru ca aria secţiunii să fie egală cu 4/9 din aria bazei ? 



Fie o piramida triunghiulară regulată de mai jos în care latura bazei are lungimea egală cu 4√3 cm şi înălţimea are lungimea de 4 cm..

Se cere: [image]

  1. Lungimile muchiei laterale, apotemei piramidei, apotemei bazei.

  2. Aria bazei şi aria unei feţe laterale.

  3. Măsura unghiului format de dreptele VA şi AM, M fiind mijlocul laturii BC.

  4. Aria triunghiului VAM.

  5. Distanţa de la M la VA, distanţa de la O la VA şi distanţa de la A la VM.

  6. Măsura unghiului format de dreptele VA şi BC.



Fie VABC o piramidă triunghiulară regulată, VO este înălţime, VO = 20 cm iar înălţimea triughiului ABC este 63 cm. Aflaţi d(V, BC).



Fie VABC o piramidă triunghiulară regulată, VO este înălţime, VO = 48, d(V, BC) = 52. Aflaţi raza cercului circumscris bazei.



Intr-o piramidă triunghiulară regulată latura bazei este de 4√2 cm, iar muchiile laterale sunt perpendiculare două câte două. Aflaţi:

  1. Aria totală a piramidei.

  2. Volumul piramidei.

  3. Aria secţiunii diagonale.



O piramidă triunghiulară regulată are lungimea muchiei laterale de 4√13 cm şi apotema piramidei de 10 cm. Calculaţi:

  1. Aria laterală, aria totală şi volumul piramidei.

  2. Distanţa de la un vârf al bazei la o faţă laterală.

  3. Tangenta unghiului format de o muchie laterală cu planul bazei.



Aflaţi apotema unei piramide triunghiulare regulate care are latura bazei 24 cm şi înălţimea 15 cm.



Aflaţi aria laterală a unei piramide triunghiulare regulate care are latura bazei 30 cm şi înălţimea 20 cm.



Aflaţi latura bazei unei piramide triunghiulare regulate care are aria laterală 81 cm2 şi înălţimea 12 cm.



Aflaţi înălţimea unei piramide triunghiulare regulate care are latura bazei 12 cm şi aria laterală 36 cm2.



Aflaţi volumul unei piramide triunghiulare regulate care are apotema 24 cm şi înălţimea 18 cm.



Aflaţi apotema unei piramide triunghiulare regulate care are volumul 13770 dm3 şi înălţimea 18 dm.



În piramida triunghiulară regulată VABC muchiile laterale au 4 cm şi formează două câte douâ unghiuri cu măsura 120º. Aflaţi:

  1. Aria totală a pioramidei.

  2. Volumul piramidei.

  3. Distanţa de la C la (VAB).

  4. Distanţa de la B la VA.



O piramidă triunghiulară regulată are înălţimea de 8 cm şi apotema de 10 cm. Determinaţi:

  1. Aria totală, volumul şi muchia laterală a piramidei.

  2. Distanţa de la centrul bazei la una din feţele laterale ale piramidei.



În piramida triunghiulară regulată VABC, de vârf V şi bază ABC, se ştie că AB = AV = 18 cm şi se notează cu M, cu N şi respectiv P, mijloacele segmentelor [AB], [VC] şi [BC].

  1. Demonstraţi că dreptele MN şi CV sunt perpendiculare.

  2. Calculaţi măsura unghiului determinat de dreptele MN şi AC.

  3. Dacă se notează cu G1, G2 şi G3 centrele de greutate ale feţelor VAB, VAC şi respectiv VBC, stabiliţi poziţia planelor (ABC) şi (G1G2G3).



În piramida triunghiulară regulată VABC, cu baza ABC se ştie că AB= 2√2 şi AV = 12 cm.

  1. Calculaţi înălţimea triunghiului ABC.

  2. Calculaţi înălţimea piramidei.

  3. Dacă P este un punct pe înălţimea piramidei astfel încât să fie egal depărtat de toate feţele piramidei, calculaţi distanţa de la P la feţele piramidei.



Piramida VABC se secţionează cu un plan paralel cu baza ABC ce trece prin mijlocul înălţimii piramidei. Secţiunea este un triunghi echilateral cu latura de 12 cm.

  1. Calculează aria bazei piramidei VABC.

  2. Dacă înălţimea piramidei din care provine trunchiul este VO = 8√3 cm, calculaţi aria laterală a piramidei şi aria laterală a trunchiului obţinut după secţionare.

  3. Determinaţi distanţa de la O (centrul bazei mari) la o faţă laterală a trunchiului.



În piramida triunghiulară regulată VABC, cu baza ABC se ştie că AB =2√2 şi AV = 12 cm.

  1. Calculaţi înălţimea triunghiului ABC.

  2. Calculaţi înălţimea piramidei.

  3. Dacă P este un punct pe înălţimea piramidei astfel încât să fie egal depărtat de toate feţele piramidei, calculaţi distanţa de la P la feţele piramidei.



Fie VABC o piramidă triunghiulară regulată, VA = √2 cm, m(∠VBC) = 30°

  1. Aflaţi aria totală a piramidei.

  2. Calculaţi volumul piramidei.

  3. Calculaţi distanţa de la centrul bazei la o faţă laterală.

  4. Cotangenta unghiului format de bază şi o faţă laterală.

  5. Calculaţi măsura unghiului format de inalţimea piramidei şi apotema piramidei .



Piramida triunghiularǎ regulatǎ SABC are muchia lateralǎ de 2√2 cm. Notǎm M mijlocul lui [AB] şi N mijlocul lui [AC]. Ştiind cǎ dreptele SC şi MN formeazǎ un unghi cu mǎsura 45º, aflaţi:

  1. Aria totalǎ şi volumul piramidei SABC.

  2. Aria totalǎ şi volumul piramidei SAMN.



În figură, VABC este o piramidă triunghiulară regulată cu muchia bazei 12 cm, volumul 24√3 cm3. VO este înălţimea piramidei iar M este mijlocul lui BC.

  1. Determinaţi aria laterală a piramidei

[image]

  1. Aflaţi distanţa de la punctul M la faţa VAB



In figura alăturată este reprezentat schematic un bazin de apă în formă de piramidă triunghiulară regulată dreaptă SABC. AB =12 dm SO = 6√3 dm.

[image]

  1. Să se calculeze aria laterală a piramidei.

  2. Dacă robinetul este deschis, prin el se scurge 1 litru pe minut. Bazinul fiind plin, să se calculeze după cât timp nivelul apei din acesta ajunge la jumătatea din înălţimea piramidei.



O piramidă triunghiulară regulată VABC are aria laterală egală cu 108 cm2 şi aria totală egală cu 36(3 + √3)cm2.

  1. Arătaţi că muchia bazei este egală cu 12 cm.

  2. Să se demonstreze că VA⊥(VBC).



Pe planul triunghiului echilateral ABC cu latura de 3 cm se ridică perpendiculara AM astfel încât AM = 4 cm.

  1. Calculaţi distanţa de la M la B.

  2. Calculaţi distanţa de la M la înalţimea triunghiului ABC.

  3. Aflaţi sinusul unghiului dintre (MAB) şi (ABC).



Prisma triunghiulară regulată ABCA’B’C’ are AB = 6cm, iar 2BC = 3AA’.

  1. Calculaţi aria totală a prismei.

  2. Se secţionează prisma cu un plan paralel cu bazele prin mijlocul muchiilor laterale.

  3. Aflaţi volumul unuia din cele două corpuri formate.

  4. Calculaţi o funcţie trigonometrică a unghiului format de planele (B’AC) şi (ABC).



Piramida triunghiulară regulată SABC are apotemele 2√ 3 cm, respectiv 4√ 3 cm.

  1. Calculaţi aria totală şi volumul piramidei.

  2. Calculaţi distanţa de la A la planul (SBC).

  3. Dacă P, Q, R sunt mijloacele muchiilor SA, AC şi respectiv AB, arătaţi că (PQR)||(SBC) şi calculaţi aria triunghiului PQR.



VABC este o piramidă triunghiulară în care măsurile unghiurilor diedre formate de planele (VAB), (VBC), (VAC) cu planul (ABC) sunt egale cu 60°, 45°, respectiv 30°. Ştiind că triunghiul ABC este isoscel, cu baza BC = 12 cm şi aria triunghiului ABC este de 36√2cm2, calculaţi distanţa de la V la planul (ABC).