Puncte Drepte Plane



Care este numărul maxim de plane şi drepte determinat de 4 puncte distincte?



Precizați corpul asociat fiecarei desfaşurari de mai jos:

[image] [image] [image]

[image] [image]

[image] [image]



Fie punctele A, B, C care sunt vârfurile unui triunghi şi aparţin planului α.

  1. Care este poziţia ABC faţă de planul α ?

  2. Mijloacele triunghiului aparţin planului α? Justificaţi!

  3. ∈n ce relaţii sunt medianele triunghiului cu planul α ?



Câte drepte diferite sunt determinate de punctele notate pe desenul alăturat?

[image]



In figura de mai jos paralelogramul ABCD are latura AB inclusă într-un plan α . Arătaţi că CD||α .

[image]



Trapezul ABCD, AB||CD şi paralelogramul ABEF sunt situate în plane diferite. Stabiliţi:

  1. poziţia dreptei EF faţă de planul (ABD);

  2. poziţia dreptei BC faţă de planul (ADF).



∈n paralelipipedul dreptunghic ABCDA’B’C’D’, M şi respectiv N sunt mijloacele muchiilor AA’ şi CC’. Stabiliţi:

  1. Natura lui MNCA;

  2. Poziţia dreptei MN faţă de planul (ABC).



∈n paralelipipedul dreptunghic ABCDA’B’C’D’ stabiliţi poziţiile dreptelor:

  1. AC şi B’D’

  2. AB’ şi DC’.



∈n paralelipipedul dreptunghic ABCDA’B’C’D’ stabiliţi poziţiile planelor:

  1. (ABC) şi (B’C’D’)

  2. (AB’C) şi (A’DC’).



Stabiliţi valoarea de adevăr a propoziţiilor:

  1. Dacă o dreaptă este paralelă cu orice dreaptă dintr-un plan ea este paralelă cu planul;

  2. Dacă o dreaptă este paralelă cu două drepte dintr-un plan ea este paralelă cu planul.



Fie triunghiul echilateral ABC şi M un punct nesituat în planul (ABC), astfel încât MB=MC=[image]cm, MA=6 cm şi MD=[image]cm, unde D∈(BC) astfel încât [BD]≡[DC]. Stabiliţi natura triunghiului MAD şi calculaţi aria acestuia.



Fie ABCD tetraedru în care M este mijlocul muchiei AD şi N este mijlocul muchiei AC . Să se stabilească poziţia dreptei MN faţă de planul (BCD) .



Fie paralelogramul ABCD şi E un punct ce nu aparţine planului (ABC) .Arătaţi că dreapta de intersecţie a planelor (EBA) şi (ECD) este paralelă cu planul (ACD) .



Trapezul ABCD cu AD || BC şi dreptunghiul ABMN sunt situate în plane diferite . Arătaţi că planele (BMC) şi (AND) sunt paralele .



∈n figura de mai jos ABCD este romb şi MBC un triunghi echilateral astfel încât M nu este situat în planul rombului, N este mijlocul laturii BC, iar m(∠DCM ) = 450.

[image]



Calculati m(∠(MC, AB)), m(∠(MN, AD)) şi m(∠(MB, AD)).



Dreptunghiurile ABCD şi ABMN sunt situate în plane diferite. Fie E şi F intersecţiile diagonalelor celor două dreptunghiuri. Demonstraţi că:

  1. CD||(ABM);

  2. EF||(AND).



Paralelogramele ABCD şi CDEF sunt situate în plane diferite. Notăm cu O şi respectiv Q punctele de intersecţie ale diagonalelor celor două paralelograme.

  1. Arătaţi că dreptele AF şi BE sunt concurente într-un punct M;

  2. Stabiliţi poziţia planelor (MOQ) şi (BCF).



Se consideră paralelogramul ABCD. AA’, BB’, CC’ şi DD’ sunt paralele de aceaşi parte a planului (ABC) astfel încât AA’= BB’= CC’ = DD’. Fie M, N, P şi Q mijloacele segmentelor AA’, BB’, CC’ şi respectiv DD’. Ce fel de patrulater este MNPQ?



Se consideră cubul ABCDA’B’C’D’ cu muchia AB = 10 cm, M şi N mijloacele muchiilor DD’ şi BB’ şi P respectiv Q intersecţiile dreptelor A’M şi A’N cu planul (ABC). Atunci:

  1. A’M || NC:

  2. punctele A, M, N şi C sunt coplanare;

  3. punctele P, C şi Q sunt coliniare;

  4. calculaţi perimetrul şi aria triunghiului A’PQ.



∈n figura de mai jos ABCD este romb şi MBC un triunghi echilateral astfel încât M nu este situat în planul rombului, N este mijlocul laturii BC, iar m( ∠DCM) = 450. Determinaţi unghiul format de dreptele :

[image]

  1. MC şi AB;

  2. MN şi AD;

  3. MB şi AD .



Pe planul dreptunghiului ABCD cu AB = 16 cm şi BC = 12 cm se ridică perpendiculara PE, unde E (AC)şi [image]. Stiind că PE = 20 cm, să se calculeze:

  1. Perimetrul triunghiului APC;

  2. Distantele de la P la laturile dreptunghiului.



Fie M, N, P şi Q patru puncte necoplanare, iar A, B şi C mijloacele segmentelor (MN), (MQ) şi respectiv (MP). Stabiliți:

  1. pozitia dreptei AB fata de planul (QPN);

  2. pozitia planelor (ABC) si (MPN).



Triunghiul ABC şi ABD au numai vârful A într-un plan α, iar BC şi BD paralele cu α. Stabiliţi dacă DC || α în cazul în care A, B, C, D sunt necoplanare.



Planele α şi β sunt paralele. Fie în α punctele A, A’, A’’ necoliniare, iar în β punctele B, B’, B’’ necoliniare. Puncte C, C’, C’’ aparţin respectiv segmentelor AB, A’B’, A’’B’’, ȋn aşa fel încât[image]Care este poziţie lui α şi β faţă de planul (CC’C’’)



Paralelogramul ABCD şi triunghiul ABE sunt incluse în plane diferite. Dacă m(∠ABE)=700 m(∠AEB)=400 m(∠CEB)=500 şi m(∠ECB)=600, atunci aflaţi măsurile unghiurilor dintre dreptele:

  1. EB şi DC;

  2. AD şi EB;

  3. DC şi AE;

  4. EC şi AD.



Triunghiul ABC este inclus în planulα. Se ridică perpendiculara AA’ pe planul α astfel încât AA’=[image]cm, A’B = A’C = 9 cm şi BC = 5[image]cm. Să se calculeze distanţa de la A’ la centrul cercului circumscris triunghiului ABC.