Tetraedrul



Fie un tetraedru regulat cu apotema bazei de 3cm. Aflati:

  1. Muchia tetraedrului.

  2. Aria totală a tetraedrului.



Calculaţi aria totală şi volumul unui tetraedru regulat cu lungimea laturii de 12 cm.



Se consideră tetraedrul ABCD şi se notează cu E şi F mijloacele muchiilor [AC], respectiv [AD] iar cu G1 şiG2 centrele de greutate ale triunghiurilor ABC şi respectiv ACD.

  1. Stabiliţi poziţia dreptelor G1G2 şi EF faţă de planul (BCD).

  2. Stabiliţi poziţia dreptelor EF şi G1G2.



Un tetraedru regulat se desfasoară in plan după un triunghi echilateral cu aria de 16√3 cm2. Determinaţi volumul tetraedrului.



Aflaţi volumul unui tetraedru regulat care are înălţimea de lungime 36 cm.



Aflaţi volumul unui tetraedru regulat care are aria totală 576√3 cm2.



Aflaţi aria totală a unui tetraedru regulat care are înălţimea de lungime 2√6 cm.



Aflaţi aria unui tetraedru regulat care are volumul 18√2 cm3.



Un tetraedru cu muchiile de lungime 1, se proiectează pe un plan. Demonstraţi că aria figurii obţinute este cel mult ½.



Fie tetraedrul ABCD, AP⊥(BCD), unde P se află pe bisectoarea ∠BDC. BD = a, BC = c, DC = b astfel încât (a+b+c)(a-b+c)=2ac şi c = 3a.

  1. Arătaţi că [image]

  2. Aflaţi poziţia punctului P astfel încât [image]



Fie ABCD un tetraedru regulat de muchie a şi E, F, M, N, P, Q mijloacele laturilor AB, CD,BC, AD, BD, respectiv AC.

  1. Arătaţi că EF, MN şi PQ sunt concurente în punctul S.

  2. Aflaţi distanţa de la punctul S la planul (ACD), în funcţie de a.



Fie ABCD un tetraedru regulat de latură 8√3 cm, P un punct pe DC, astfel încât aria triunghiului PAB să fie minimă, E simetricul lui P faţă de D şi M mijlocul lui AB.

  1. Arătaţi că EMAB.

  2. Calculaţi aria triunghiului EDM.

  3. Aflaţi sinusul unghiului determinat de dreptele MD şi ME.



Un tetraedru regulat VABC are înălţimea de 4 cm.

  1. Calculaţi aria totală a tetraedrului.

  2. Dacă M este mijlocul laturii BC, aflaţi distanţa de la M la muchia laterală VA.

  3. Calculaţi o funcţie trigonometrică a unghiului dintre două feţe laterale ale tetraedrului.



Intr-un tetraedru ABCD avem AB = BC = AC = 4√3, DCAB şi DC = 4√2. Dacă M este mijlocul segmentului AB şi DM = 2√5, calculaţi:

  1. d(D, (ABC)).

  2. sin(∠((ABD), (ABC))).

  3. m(∠(CD, (ABC))).



Fie ABCD un tetraedru, iar G1, G2, G3 centrele de greutate ale triunghiurilor ACD, ADB, respectiv ABC.

  1. Demonstraţi că (G1G2G3)|| (BCD).

  2. Aflaţi raportul ariilor triunghiurilor G1G2G3 şi BCD.